T​ứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm BD, AC. Gọi I là trung điểm của EF. Gọi A`, B`, I` theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A, B, I đến CD

Để chứng minh rằng \( AA' + BB' = 4II' \), ta sẽ phân tích từng phần của bài toán.

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Giả sử \( D \) ở gốc tọa độ \( D(0, 0) \).
- Điểm \( C \) có tọa độ \( C(a, 0) \).
- Điểm \( B \) có tọa độ \( B(b_x, b_y) \).
- Điểm \( A \) có tọa độ \( A(a_x, a_y) \).

Từ đó, ta có:
- \( E \): trung điểm của \( BD \) có tọa độ \( E\left( \frac{b_x}{2}, \frac{b_y}{2} \right) \).
- \( F \): trung điểm của \( AC \) có tọa độ \( F\left( \frac{a_x + a}{2}, \frac{a_y}{2} \right) \).
- \( I \): trung điểm của \( EF \) có tọa độ
\[
I\left( \frac{ \frac{b_x}{2} + \frac{a_x + a}{2}}{2}, \frac{ \frac{b_y}{2} + \frac{a_y}{2}}{2} \right) = \left( \frac{b_x + a_x + a}{4}, \frac{b_y + a_y}{4} \right).
\]

2. **Tìm tọa độ các chân đường vuông góc**:
- Đường thẳng \( CD \) có phương trình:
\[
y = 0.
\]
- Ta sẽ tìm tọa độ chân đường vuông góc từ \( A \), \( B \), và \( I \) xuống đoạn thẳng \( CD \).
- Chân đường vuông góc từ \( A \) đến \( CD \) là \( A' = (a_x, 0) \).
- Chân đường vuông góc từ \( B \) đến \( CD \) là \( B' = (b_x, 0) \).
- Chân đường vuông góc từ \( I \) đến \( CD \) là \( I' = \left( \frac{b_x + a_x + a}{4}, 0 \right) \).

3. **Tính các đoạn thẳng**:
- Tính đoạn \( AA' \):
\[
AA' = a_y.
\]
- Tính đoạn \( BB' \):
\[
BB' = b_y.
\]
- Tính đoạn \( II' \):
\[
II' = \frac{b_y + a_y}{4}.
\]

4. **Tổng hợp lại các đoạn đã tính**:
\[
AA' + BB' = a_y + b_y = 4 \cdot \frac{b_y + a_y}{4} = 4II'.
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán:
\[
AA' + BB' = 4II'.
\]
Do đó, điều phải chứng minh đã được hoàn thành.