Để giải bài 21 trong hình vẽ của tam giác \(ABC\) có các điểm như mô tả, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle AMC = \triangle DMB \)

1. **Xét các cặp cạnh**:
- \(AM = MD\) (giả thiết).
- \(MC = MB\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)).
- Cạnh \(AC\) và \(DB\) không nhất thiết bằng nhau nhưng ta có cùng só góc có \( \angle AMC = \angle DMB\) (cùng vuông tại \(M\)).

2. **Sử dụng Tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh (CGC)**:
- Với 3 cặp cạnh và góc tương ứng, ta có:
\[
\triangle AMC \cong \triangle DMB
\]

### b) Chứng minh \( AC \parallel BD \)

Từ \(\triangle AMC \cong \triangle DMB\):

- Từ đó, ta có:
\[
\angle AMC = \angle DMB
\]
- Do đó, bởi tính chất của cường độ góc, suy ra:
\[
AC \parallel BD
\]

### c) Vẽ \( MH \perp DB \) tại \( H \)

1. **Cặp góc vuông**:
- Vẽ đường thẳng \(MH\) tại \(H\), với \(MH \perp DB\).

2. **Lấy điểm \(K\) trên \(AC\)**:
- Ta có \(AK = DH\).

3. **Chứng minh \(\triangle MHD \cong \triangle MKD\)**:
- Với \(MH \perp DB\), ta có các cặp góc vuông tương ứng.
- Cạnh \(MH\) chung.
- Để chứng minh, ta sử dụng điều kiện \(AK = DH\).

4. **Suy ra**:
- Từ đó có căn cứ để khẳng định rằng \(MK \perp AK\).

Như vậy, ta có thể chứng minh được tất cả các yêu cầu của đề bài.