Chứng minh rằng trong 100 số đó, tồn tại một hoặc nhiều số mà tổng của chúng bằng tổng các số còn lại

Để chứng minh rằng trong 100 số \( a_1, a_2, \ldots, a_{100} \) với mỗi số có giá trị là 1 hoặc -1, tồn tại một hoặc nhiều số mà tổng của chúng bằng tổng các số còn lại, ta làm như sau:

Gọi tổng các số này là \( S \):

\[
S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{100}
\]

Giá trị của \( S \) có thể nằm trong khoảng từ -100 đến 100, và cụ thể, nó có thể được chia thành:

- Số các số có giá trị 1: \( k \)
- Số các số có giá trị -1: \( 100 - k \)

Từ đó, ta có:

\[
S = k - (100 - k) = 2k - 100
\]

Giá trị của \( k \) có thể là từ 0 đến 100. Khi đó, \( S \) thay đổi từ -100 (k=0) đến 100 (k=100) theo bước nhảy 2 (k mỗi lần tăng 1, S tăng 2).

Kết quả là \( S \) có thể nhận các giá trị lẻ từ -100 đến 100. Số các giá trị lẻ này là:

\[
-99, -97, -95, \ldots, -1, 1, \ldots, 97, 99
\]

Tổng cộng có 100 giá trị lẻ (bắt đầu từ -99 đến 99).

Bây giờ, ta đưa ra kết luận.

Giả sử không tồn tại một tập hợp nào có tổng bằng tổng các số còn lại. Nếu ta lấy tổng của m số trong các số đó, tổng của cũng phải là một giá trị lẻ. Tuy nhiên, tổng của m số mà tổng còn lại cũng lẻ đồng nghĩa với tổng của tất cả các số phải là một giá trị không thể tách thành 2 mảnh có tổng bằng nhau. Điều này dẫn đến một mâu thuẫn, cho nên có ít nhất 1 hoặc nhiều số có tổng bằng với tổng các số còn lại.

Do đó, ta đã chứng minh rằng trong 100 số đó, tồn tại một hoặc nhiều số mà tổng của chúng bằng tổng các số còn lại.