Cho nửa đường tròn (O,r) đường kính BC vẽ AH vuông góc với BC tại H đường tròn đường kính AH cắt Ab,Ac và (O) lần lượt tại D, E, M đường thẳng Am cắt BC tại N

Để giải quyết bài toán, chúng ta tiến hành cụ thể từng câu hỏi.

### a) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACN

Để hai tam giác AME và ACN đồng dạng, chúng ta cần chỉ ra rằng các góc tương ứng của chúng bằng nhau.

**Gọi:**
- **A, B, C** là các điểm trên đường tròn (O) với BC là đường kính.
- **H** là điểm trên BC sao cho AH vuông góc với BC.
- **D và E** là giao điểm của đường tròn đường kính AH với các đường thẳng AB và AC (và M là giao điểm của đường tròn này với đường tròn (O)).

**Chứng minh:**
1. Nhận xét rằng: Khi dựng đường tròn đường kính AH, các điểm D, E nằm trên đường tròn này, tức là \(AD\) vuông góc với \(AH\) và \(AE\) vuông góc với \(AH\). Do đó:
\( \angle AHD = \angle AHE = 90^\circ \).

2. Ta có:
- Gọi góc \( \angle ACN = \theta \).
- Góc \( \angle AME \) là góc nội tiếp, nên \( \angle AME = \angle AHC \).

3. Do tính chất của hình thang (vì BC là đường kính), thì:
- Góc \( \angle AHC = \angle ACN = \theta \).
Như vậy, ta có hai góc tương ứng của tam giác AME và ACN bằng nhau.

4. Kể từ đó, ta có thể kết luận rằng:
- Nếu góc A là chung giữa tam giác AME và tam giác ACN, góc AHE bằng góc AMC, góc AHC = góc ACN là góc tương ứng, thì ta có thể sử dụng tiêu chí góc-góc (AA) để kết luận rằng:
\( \triangle AME \sim \triangle ACN \).

### b) Tính DE³ / (BD * CE)

Chúng ta có D, E, N thẳng hàng. Ta áp dụng định lý trong các tam giác đồng dạng để tính tỉ số DE³ / (BD * CE).

Từ tính chất đồng dạng và tỉ số độ dài bên trong, ta có rằng:

\[
\frac{DE}{BD} = \frac{AM}{AC} \quad \text{và} \quad \frac{DE}{CE} = \frac{AM}{AB}
\]

Từ đó ta có:

\[
DE^2 = BD \cdot CE
\]

Thử nghiệm độ dài để đưa ra dạng tổng quát, trong trường hợp thẳng hàng, ta có thể suy luận:

### Tóm lại

\[
DE^3 = (BD \cdot CE)^{1.5} \Rightarrow \frac{DE^3}{BD \cdot CE} = DE \cdot \sqrt{BD \cdot CE}
\]

Chúng ta có thể làm phức tạp bài toán hơn bằng cách thêm số liệu cụ thể cho phép tính chính xác hơn nhưng nội dung trên đã sơ bộ cung cấp câu trả lời cho hai phần của đề bài.