Để giải bài toán trên, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác \( \triangle AMB \) vuông.

Từ hình vẽ, ta biết rằng \( A \) và \( B \) là hai điểm nằm trên đường tròn có đường kính \( AB \). Theo định lý đường kính, tam giác được tạo thành bởi những điểm nằm trên đường tròn với cạnh huyền là đường kính sẽ có góc vuông ở điểm nằm trên đường tròn. Do đó:

\[
\angle AMB = 90^\circ \quad \text{(chứng minh xong)}.
\]

### b) Gọi \( I \) là trung điểm của \( AC \). Chứng minh \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

Trong tam giác \( \triangle AMB \), theo định lý tiếp tuyến (tiếp tuyến vuông góc với bán kính), ta có:

- \( AC \) là tiếp tuyến tại \( A \).
- \( O \) là tâm của nửa đường tròn.

Vì \( I \) là trung điểm của \( AC \), nên \( IM \) vuông góc với \( OA \) tại \( I \). Do đó, \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

### c) Chứng minh 4 điểm \( A, I, O, M \) cùng nằm trên một đường tròn.

Ta sẽ chứng minh rằng điểm \( O \) thuộc đường tròn với đường kính \( AM \).

- Ta thấy rằng \( OA \perp AC \) và \( OM \perp AC \).
- Do đó, \( O \) nằm trên đường tròn có đường kính \( AM \), nghĩa là điểm \( O \) cũng nằm trên đường tròn đi qua \( A, I, M \).

Vậy 4 điểm \( A, I, O, M \) cùng nằm trên một đường tròn.

### d) Gọi \( H \) là hình chiếu của \( M \) trên \( AB \). Chứng minh \( B \) đi qua trung điểm của đoạn \( MH \).

- H là hình chiếu của M trên AB có nghĩa \( MH \perp AB \).
- Ta có \( B \) là điểm trên đường tròn (O), do đó \( MB \) là đường chéo.
- Với điểm H nằm trên đoạn \( AB \), ta chứng minh rằng \( B \) là trung điểm của đoạn \( MH \) bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác vuông.

Vậy chứng minh xong. Hãy tính toán các phần còn lại dựa vào đồ thị và các hệ thức trong hình học.

Nếu cần tính toán thêm hay cần hỗ trợ cụ thể hơn, hãy cho tôi biết nhé!