Để tìm giá trị của các biểu thức đã cho, ta làm từng bước như sau:

### Phần 1: Tính giá trị của biểu thức
\[
\frac{6^{15} \cdot 3^{5} - 2^{13} \cdot 9^{10}}{4^{7} \cdot 9^{11}}
\]

1. **Biến đổi phần tử**:
- Biết rằng \(9 = 3^2\) và \(4 = 2^2\).
- Do đó:
- \(9^{10} = (3^2)^{10} = 3^{20}\)
- \(9^{11} = (3^2)^{11} = 3^{22}\)
- \(4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}\)

2. **Ghi lại biểu thức**:
\[
= \frac{6^{15} \cdot 3^{5} - 2^{13} \cdot 3^{20}}{2^{14} \cdot 3^{22}}
\]

3. **Chuyển đổi \(6^{15}\)**:
- \(6 = 2 \cdot 3\), nên \(6^{15} = 2^{15} \cdot 3^{15}\).

4. **Ghi lại biểu thức**:
\[
= \frac{(2^{15} \cdot 3^{15}) \cdot 3^{5} - 2^{13} \cdot 3^{20}}{2^{14} \cdot 3^{22}} = \frac{2^{15} \cdot 3^{20} - 2^{13} \cdot 3^{20}}{2^{14} \cdot 3^{22}}
\]

5. **Rút gọn**:
\[
= \frac{(2^{15} - 2^{13}) \cdot 3^{20}}{2^{14} \cdot 3^{22}} = \frac{2^{13} \cdot (2^2 - 1) \cdot 3^{20}}{2^{14} \cdot 3^{22}} = \frac{2^{13} \cdot 3^{20}}{2^{14} \cdot 3^{22}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2 \cdot 9} = \frac{1}{18}
\]

### Phần 2: Giải phương trình
\[
\frac{x + 1}{9} = \frac{25}{1 + x}
\]

1. **Nhân chéo**:
\[
(x + 1)(1 + x) = 25 \cdot 9
\]

2. **Mở rộng**:
\[
x^2 + 2x + 1 = 225 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 224 = 0
\]

3. **Giải phương trình bậc 2**:
- Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 896}}{2} = \frac{-2 \pm 30}{2}
\]

4. **Nhận nghiệm**:
- Nghiệm 1: \(x = \frac{28}{2} = 14\)
- Nghiệm 2: \(x = \frac{-32}{2} = -16\) (không hợp lệ trong ngữ cảnh)

### Kết quả
- Giá trị của biểu thức đầu tiên là \(\frac{1}{18}\).
- Giá trị của \(x\) trong phương trình thứ hai là \(x = 14\).