Để giải bài toán này, ta có thể làm như sau:

#### a) Chứng minh \( \triangle AMN \cong \triangle ACQ \)

1. **Cạnh chung**: \( AN \) là cạnh chung của cả hai tam giác \( AMN \) và \( ACQ \).
2. **Cạnh bằng nhau**:
- Ta có \( MN = NQ \) vì \( NQ = NM \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \) suy ra \( NM = \frac{1}{2}AB \).
- Điểm \( Q \) được xác định trên tia đối NM, do đó \( AQ = AN \).
3. **Góc vuông**: Cả hai tam giác \( AMN \) và \( ACQ \) đều có góc \( A \) là góc chung và sẽ tạo ra hai góc vuông tại điểm \( N \) và \( Q \).

Suy ra, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS), ta có \( \triangle AMN \cong \triangle ACQ \).

#### b) Chứng minh \( MB = \frac{1}{2} QC \)

- \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( MB = \frac{1}{2} AB \).
- Từ việc \( \triangle AMN \cong \triangle ACQ \) và bằng nhau theo tỉ lệ, ta có \( QC = 2MB \).

#### c) Chứng minh \( MN = \frac{1}{2} BC \)

- Trong tam giác \( ABC \), \( M \) và \( N \) được xác định là trung điểm của các cạnh. Do đó, \( MN \) là đoạn thẳng nối hai trung điểm, theo định lý trung điểm, ta có \( MN = \frac{1}{2} BC \).

**Tóm lại**:

- Đã chứng minh được cả ba phần của bài tập, khẳng định sự tương ứng các tỉ số và tính chất về hình học của tam giác.