Cho ba điểm A(3,1,0); B(2,1,-1); C(x,y,-1). Tìm toạ độ của C để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

Để tam giác \( ABC \) là tam giác vuông cân tại \( A \), chúng ta cần thỏa mãn điều kiện:

1. \( AB = AC \) (vì đây là tam giác cân tại \( A \)).
2. Góc \( A \) phải là \( 90^\circ \).

Đầu tiên, chúng ta tính độ dài các cạnh \( AB \) và \( AC \).

### Tính độ dài đoạn thẳng \( AB \)

Tọa độ điểm \( A(3, 1, 0) \) và \( B(2, 1, -1) \).

Công thức tính độ dài:
\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}
\]
Ta có:
\[
x_B - x_A = 2 - 3 = -1
\]
\[
y_B - y_A = 1 - 1 = 0
\]
\[
z_B - z_A = -1 - 0 = -1
\]
Vậy:
\[
AB = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}
\]

### Tính độ dài đoạn thẳng \( AC \)

Tọa độ điểm \( C(x, y, -1) \).

Ta có:
\[
AC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (-1 - 0)^2}
\]
Vậy:
\[
AC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1}
\]

### Để \( AB = AC \)

Ta cần có:
\[
\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1} = \sqrt{2}
\]

Bình phương hai bên:
\[
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + 1 = 2
\]
\[
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1
\]

### Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn với bán kính \( 1 \) và tâm tại \( (3, 1) \):
\[
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1
\]

### Các điểm \( C \)

Một số điểm trên đường tròn này có thể là:
- \( C(4, 1, -1) \)
- \( C(2, 1, -1) \)
- \( C(3, 2, -1) \)
- \( C(3, 0, -1) \)

### Kiểm tra các đáp án

Từ đề bài, ta có các đáp án:
- A: \( (4; 1; -1) \)
- B: \( (4; -1; -1) \)
- C: \( (2; 1; -1) \)
- D: \( (2; -1; -1) \)

Ta thấy \( C(4, 1, -1) \) và \( C(2, 1, -1) \) đều nằm trên đường tròn.

### Kiểm tra góc vuông

Để đảm bảo góc \( A \) là \( 90^\circ \), ta kiểm tra tích vô hướng:
- **Tích vô hướng của \( AB \) và \( AC \)** phải bằng 0.

Tính \( \overrightarrow{AB} = (2 - 3, 1 - 1, -1 - 0) = (-1, 0, -1) \) và \( \overrightarrow{AC} = (x - 3, y - 1, -1 - 0) \).

Tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -1(x - 3) + 0(y - 1) - 1(-1) = -x + 3 + 1 = -x + 4
\]
Để góc vuông (tích bằng 0):
\[
-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4
\]

Tộa độ \( C = (4, y, -1) \) với \( (4, 1, -1) \) là một điểm khả thi.

### Kết luận

Tọa độ của \( C \) để tam giác \( ABC \) là tam giác vuông cân tại \( A \) là:
**A: \( (4, 1, -1) \)**.