Để chứng minh các phần đã nêu trong câu hỏi, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và các định lí về góc, cạnh và đường phân giác.

### 1) Chứng minh góc DBC = ECB và BD = CE

Giả sử tam giác \( ABC \) có \( \angle ABC = \angle ACB \). Điều này có nghĩa là tam giác \( ABC \) là tam giác đều (có hai góc bằng nhau).

Đặt:
- \( D \) là điểm trên cạnh \( AC \) sao cho \( BD \) là đường phân giác, tức là \( \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \).
- \( E \) là điểm trên cạnh \( AB \) sao cho \( CE \) là đường phân giác, tức là \( \frac{AC}{BC} = \frac{AE}{EB} \).

Vì \( \angle ABC = \angle ACB \), ta có:

- Do đó, \( \angle DBC \) tại điểm \( D \) sẽ bằng \( \angle ECB \) tại điểm \( E \) vì BD và CE tạo ra hai góc phân giác tại B và C.

- Đồng thời, vì tam giác \( ABC \) là tam giác đều, nên hai cạnh \( AB \) và \( AC \) bằng nhau. Do đó, tỷ số cạnh tương ứng của hai đường phân giác sẽ dẫn đến \( BD = CE \).

Vậy ta có:
\[
\angle DBC = \angle ECB \quad \text{và} \quad BD = CE
\]

### 2) Chứng minh góc AEC = ADB, ADB = ACE và AD = AE

Với tính chất đường phân giác và góc như đã nêu:

* Gọi \( K \) là điểm giao nhau của \( BD \) và \( CE \). Khi đó, \( \triangle ADB \) và \( \triangle AEC \) có những cạnh sau bằng nhau:
- \( AD = AE \) (vì chúng đều là đoạn nối từ A đến điểm phân giác).
- \( AB = AC \) (bởi vì tam giác ABC đều).
- \( DB = EC \) (đã chứng minh).

Xét các góc trong tam giác:

- Từ việc \( BD \) là phân giác của \( \angle ABC \) và \( CE \) là phân giác của \( \angle ACB \), ta có:

\[
\angle ADB = \angle AEC
\]

- Tương tự, từ vị trí của A và các đoạn đường phân giác, sẽ có:

\[
\angle ADB = \angle ACE
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được:
\[
\angle AEC = \angle ADB, \quad ADB = ACE, \quad AD = AE
\]

Tóm lại, tất cả các yêu cầu đã được chứng minh.