Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện hai phần a) và b) như sau:

### Phần a) Chứng minh rằng bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng nằm trên một đường tròn.

1. **Xác định các góc:**
- Gọi \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( BD \) và \( CE \).
- Các góc \( \angle AHB \) và \( \angle AHC \) là góc nội tiếp đối diện của tam giác \( ABC \).

2. **Sử dụng tính chất góc:**
- Theo định lý về góc nội tiếp, ta có:
\[
\angle AHE = \angle ADB \quad \text{và} \quad \angle AHD = \angle AEC
\]
- Chúng ta có:
\[
\angle AHB = \angle AHE + \angle AHD
\]

3. **Kết luận:**
- Vì góc \( AHB \) được tạo thành từ hai góc nội tiếp \( AHE \) và \( AHD \), nên bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng nằm trên một đường tròn (theo định lý đồng vị).

### Phần b) Gọi \( (O) \) là đường tròn đi qua bốn điểm \( A, D, H, E \) và \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Chứng minh rằng \( ME \) là tiếp tuyến của \( (O) \).

1. **Giả thiết:**
- Ta đã có đường tròn \( (O) \) đi qua các điểm \( A, D, H, E \).

2. **Đường trung tuyến và đường cao:**
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \) và do đó, \( BM = MC \).

3. **Sử dụng tính chất tiếp tuyến:**
- Để chứng minh \( ME \) là tiếp tuyến, ta cần chứng minh rằng \( ME \) vuông góc với bán kính \( OE \) tại điểm \( E \).

4. **Chứng minh góc:**
- Ta có \( \angle AME = \angle AHE \) (vì cùng nằm trên đường tròn).
- Với \( EH \) là đường cao và \( ME \) cắt \( EH \) tại \( E \), ta có góc giữa \( ME \) và bán kính \( OE \) là bằng \( \angle AHE\).

5. **Kết luận:**
- Do đó, ta sẽ có \( \angle EOH = 90^\circ \), tức là \( ME \) vuông góc với \( OE \) và là tiếp tuyến của \( (O) \).

### Tóm tắt:
- Bằng cách sử dụng định lý về góc nội tiếp và tính chất của đường tròn, ta có thể chứng minh rằng bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng nằm trên một đường tròn và đồng thời chứng minh rằng đoạn thẳng \( ME \) là tiếp tuyến của đường tròn này.