Gọi x là số hữu tỷ dương cần tìm. Vì x là số hữu tỷ nên x có thể được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản x = a/b, trong đó a, b là các số nguyên dương và ước chung lớn nhất của a và b là 1 (ƯCLN(a, b) = 1).
Theo đề bài:
2x ∈ Z, tức là 2(a/b) ∈ Z hay (2a)/b ∈ Z. Điều này có nghĩa là 2a chia hết cho b.
2/x ∈ Z, tức là 2/(a/b) ∈ Z hay (2b)/a ∈ Z. Điều này có nghĩa là 2b chia hết cho a.
Từ (2a)/b ∈ Z, ta suy ra 2a = kb với k là một số nguyên.
Từ (2b)/a ∈ Z, ta suy ra 2b = la với l là một số nguyên.
Nhân hai phương trình này lại, ta được:
(2a)(2b) = (kb)(la)
<=> 4ab = kla
<=> 4 = kl (vì a và b khác 0)
Vì k và l là các số nguyên, ta xét các trường hợp của k và l sao cho tích của chúng bằng 4:
Trường hợp 1: k = 1, l = 4.
Vậy x = a/b = a/(2a) = 1/2.
2a = b
2b = 4a => b = 2a (trùng với phương trình trên)
Trường hợp 2: k = 2, l = 2.
Vậy x = a/b = a/a = 1.
2a = 2b => a = b
Trường hợp 3: k = 4, l = 1.
Vậy x = a/b = (2b)/b = 2.
2a = 4b => a = 2b
2b = a (trùng với phương trình trên)
Các trường hợp k và l là số âm bị loại bỏ vì x > 0 nên a và b đều dương, dẫn đến k và l cũng phải dương.
Các số hữu tỷ x > 0 thỏa mãn điều kiện đề bài là x = 1/2, x = 1 và x = 2.
Vậy tập hợp các giá trị của x là {1/2; 1; 2}.