Để giải bài 8 này, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a, b và c.

### a) Chứng minh \( A, B, O, M \) cùng thuộc một đường tròn.

1. Ta có \( MA \) và \( MB \) đều là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \( A \) và \( B \), do đó:
\[
OA \perp MA \quad \text{và} \quad OB \perp MB
\]
2. Xét tam giác \( OMA \):
- Có \( OA \) là bán kính.
- \( MA \) là tiếp tuyến tại \( A \).
- \( OM \) là đường nối giữa điểm \( O \) (tâm đường tròn) và điểm \( M \) (nằm ngoài đường tròn).

3. Do đó, theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
\angle OMA = 90^\circ
\]
4. Tương tự cho tam giác \( OMB \):
\[
\angle OMB = 90^\circ
\]

5. Vậy, tổng của các góc:
\[
\angle AMO + \angle BMO = 180^\circ \text{ (vì hai góc này bù nhau tại điểm M)}
\]
6. Theo định lý về các điểm cùng thuộc một đường tròn, ta có thể kết luận rằng \( A, B, O, M \) cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh \( OI \cdot OM = OA^2 \).

1. Gọi \( I \) là giao điểm của \( OM \) và \( AB \), và \( E \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( MD \) tại \( M \) với \( AB \).
2. Trong tam giác \( OMA \), theo định lý Pytago cho tam giác vuông tại \( A \):
\[
OA^2 = OM \cdot OI
\]
mà \( E \) là điểm thuộc \( AB \), vì vậy:
\[
OI = MA \text{ (đo chiều từ O tới AB)}
\]
3. Do đó, \( OI \cdot OM = OA^2 \).

### c) Chứng minh \( \triangle OAE \) đồng dạng \( \triangle OAF \).

1. Xét hai tam giác:
- \( OAE \): \( OA \) là cạnh huyền và \( OE \) là cạnh kề.
- \( OAF \): \( OA \) cũng là cạnh huyền, và \( OF \) sẽ là cạnh kề.

2. Ta nhận thấy:
- \( OE \perp AB \)
- \( OF \perp AB \)

3. Điều này chứng tỏ rằng \( \angle OAE = \angle OAF \) (cùng bằng 90 độ) và cạnh huyền \( OA \) là chung.

4. Do đó, từ tính chất góc và cạnh huyền bằng nhau, ta có:
\[
\triangle OAE \sim \triangle OAF
\]

Từ đó, ta đã chứng minh các yêu cầu của bài toán.