Để giải bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng \( OM \perp BC \)

Giả sử O là tâm của nửa đường tròn, B và A là hai điểm nằm trên đường tròn. Đường tiếp tuyến \( Bx \) tại điểm B có đặc điểm là vuông góc với bán kính \( OB \).

Khi kẻ tiếp tuyến từ điểm C đến đường tròn, theo định nghĩa, đoạn thẳng từ điểm C đến điểm M (nơi tiếp tuyến cắt nửa đường tròn) cũng vuông góc với bán kính ôm từ O đến bờ của nửa đường tròn tại điểm M.

Từ đó, ta có:
- \( OM \) vuông góc với \( BC \) ==> \( OM \perp BC \).

### b) Chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( BN \)

Do M là điểm trên đường tiếp tuyến \( Bx \) cho nên theo định lý tiếp tuyến, khoảng cách từ B đến M bằng khoảng cách từ N đến M. Do đó ta có:
- \( BM = MN \)

Vì vậy, điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BN.

### c) Kẻ \( CH \) vuông góc với \( AB \), \( AM \) cắt \( CH \) tại \( I \). Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( CH \).

Khi kẻ đường thẳng \( CH \) vuông góc với \( AB \), ta có góc \( ACB \) tạo ra 2 hình tam giác đồng dạng.

Do đó, từ tính chất của đường thẳng vuông góc và tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
- \( CI = IH \)
- \( I \) là trung điểm của \( CH \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh được các ý của bài toán yêu cầu, từ đó làm rõ được mối quan hệ giữa các điểm trong hình.