Cho tam giác vuông tại A và AB < AC có M và E lần lượt là trung điểm của BC và AC, vẽ MD vuông góc với AB tại D. Gọi K là điểm đối xứng với M qua E. Tứ giác AMCK là hình gì

Trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là góc vuông, ta có:
- \(M\) là trung điểm của \(BC\),
- \(E\) là trung điểm của \(AC\).

Khi vẽ \(MD\) vuông góc với \(AB\) tại \(D\), chúng ta có \(MD \perp AB\).

Ta chỉ ra \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(E\). Điều này có nghĩa là nếu \(E\) là trung điểm đoạn thẳng \(MK\), thì ta có:
\[
E = \frac{M + K}{2}
\]

### Chứng minh tứ giác \(AMCK\) là hình thoi

Để chứng minh rằng tứ giác \(AMCK\) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng:
- Hai cặp cạnh đối diện \(AM\) và \(CK\), \(AC\) và \(MK\) có độ dài bằng nhau.
- Các góc chéo \( \angle AMC = \angle AKC\) và \( \angle AMK = \angle AEC \) cũng bằng nhau.

#### Bước 1: Chứng minh \(AM = CK\)

Từ tính chất của các điểm trung điểm, ta có:
\[
AM = \frac{1}{2}AC \quad \text{vì M là trung điểm BC}
\]
\[
CK = \frac{1}{2}AC \quad \text{vì K là đối xứng với M qua E}
\]
Từ đó, suy ra \(AM = CK\).

#### Bước 2: Chứng minh \(AC = MK\)

Xét điểm \(M\) và điểm \(K\):
- Bởi vì \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(E\), ta có \(MK = ME\) (độ dài đoạn này là bằng nhau nhờ vào định nghĩa đối xứng).
- \(E\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AE = EC\).

Thêm vào đó, \(MK \parallel AC\) (bởi vì \(ABCD\) là tứ giác với các cạnh \(MK\) và \(AC\) đều nằm trong cùng một mặt phẳng vuông góc với 1 trục) có thể kết luận rằng \(MK = AC\).

#### Bước 3: Chứng minh góc

Ta cũng có:
\[
\angle AMC = \angle AKC
\]
Hơn nữa, các góc phụ thuộc vào điểm \(M, K\) đều sẽ có giá trị đối xứng.

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng:
- \(AM = CK\) và \(AC = MK\),
- Các góc chéo đối nhau bằng nhau.

Do đó, tứ giác \(AMCK\) là hình thoi.