Cho tam giác vuông ABC tại A, với \( AC = 2AB \).

**a)** Tứ giác AEFD là hình gì?
- Để xác định tứ giác AEFD, ta cần xem xét các trung điểm đã cho:
- D là trung điểm của AC, do đó \( AD = DC = \frac{AC}{2} = AB \).
- E là trung điểm của AH.

Mặt khác, ta biết rằng \( AH \) là đường cao, vì vậy \( AE \) là bán kính đường tròn đường cao. Tứ giác AEFD sẽ có các cạnh AE và DF đều bằng nhau và AD và EF cũng bằng nhau. Điều này cho thấy tứ giác AEFD là hình bình hành, và do đó, AEFD là một hình chữ nhật.

**b)** Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông.
- Xét Dx là đường thẳng đi qua điểm D và song song với AB. Do AB là cạnh của tam giác vuông, nên Dx sẽ chia đôi đoạn đoạn mà nó cắt với BC.
- Bây giờ xét By là một đoạn thẳng qua B và song song với AC. Lúc này By cũng chia đoạn AC ra làm 2 phần bằng nhau.
- M là giao điểm của Dx và By.

Từ đây, chúng ta có ba đường thẳng:
- Dx song song với AB,
- By song song với AC,
- Do đó, ABMD có những cạnh bằng nhau và có các góc vuông ở A, B, D và M. Tứ giác ABMD thỏa mãn tính chất hình vuông.

**c)** Chứng minh ΔBHE vuông cân.
- Để chứng minh ΔBHE là tam giác vuông cân, trước hết, theo định nghĩa huyện A nằm trên đường thẳng cao AH. Do đó, đường tròn tâm B, bán kính BH, đường cao E cho một đường vuông góc với cạnh BC.
- Từ đó, chúng ta có thể thấy rằng BE là đường xiên thuộc chiều cao của ΔBHE. Điều này có nghĩa rằng:
- \( BE = EH \) và góc E là vuông. Do đó, ΔBHE là tam giác vuông cân.

**d)** Chứng minh MF⊥FA.
- Từ tứ giác ABMD đã chứng minh là hình vuông, chúng ta biết rằng MA và MB đều vuông góc với FA và FB.
- Đặc biệt là MF chính là đường nối từ F đến M. Vì ABMD có tính đối xứng và mọi đường chéo của tứ giác vuông cũng vuông góc với nhau, vậy ta có:
- MF vuông góc với FA. Điều này chứng tỏ rằng MF⊥FA.

Kết luận, trên cơ sở các tính chất của hình học và tứ giác, tất cả đều thỏa mãn điều kiện bài toán đề ra.