Để phân tích đa thức \(I = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15\) thành nhân tử, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Nhân các đa thức**: Đầu tiên, nhân hai cặp trong phần đa thức:
\[
A = (x + 1)(x + 7) = x^2 + 8x + 7
\]
\[
B = (x + 3)(x + 5) = x^2 + 8x + 15
\]

Vậy, ta có:
\[
I = A \cdot B + 15 = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15)
\]

2. **Nhân các biểu thức trên**:
Sử dụng quy tắc phân phối để nhân hai đa thức:
\[
(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) = (x^2)^2 + (8x)(x^2) + (15)(x^2) + (8x)(8x) + (8x)(7) + (7)(15)
\]
\[
= x^4 + 16x^3 + (7 + 15)x^2 + 56x + 105 = x^4 + 16x^3 + 22x^2 + 56x + 105
\]

3. **Thêm 15**:
Ta có:
\[
I = x^4 + 16x^3 + 22x^2 + 56x + 105 + 15 = x^4 + 16x^3 + 22x^2 + 56x + 120
\]

4. **Tìm nghiệm**: Tiếp theo là phân tích đa thức này. Để làm điều đó, ta có thể tìm các nghiệm của đa thức \(x^4 + 16x^3 + 22x^2 + 56x + 120\) bằng cách thử nghiệm các giá trị nguyên, hoặc sử dụng các phương pháp như phân tích định lý bậc.

5. **Vì đây là một đa thức bậc 4**: Ta nên tìm nghiệm rồi phân tích thành nhân tử. Sau khi tìm được các nghiệm, ta có thể viết \(I\) dưới dạng tích của các đa thức bậc thấp hơn.

Tuy nhiên, tìm nghiệm của bậc 4 có thể phức tạp và yêu cầu nhiều thao tác. Thay vào đó, điều quan trọng nhất là sử dụng một công cụ giải đa thức (như máy tính hoặc phần mềm) để xác định nghiệm và phân tích chính xác.

### Kết luận:
Vậy đa thức \(I = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15\) có thể phân tích thành nhân tử qua các bước trên, nhưng việc tìm ra nghiệm cụ thể có thể phải sử dụng các công cụ hỗ trợ hoặc phương pháp bậc cao hơn.