Cho △ ABC vuông tại A (AB < AC) có AD là đường cao (D thuộc BC). Vẽ DE vuông góc AB tại E, DF vuông góc AC tại F

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần a), b), c) như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( AEDF \) là hình chữ nhật

Để chứng minh \( AEDF \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai góc của tứ giác này bằng 90 độ.

1. **Góc \( EDF \)**:
- Vì \( DE \) vuông góc với \( AB \) và \( DF \) vuông góc với \( AC \).
- Từ đó, ta có \( AB \) và \( AC \) đều cắt nhau tại A, do đó \( EDF = 90^\circ \).

2. **Góc \( AEF \)**:
- Xét đường cao \( AD \) của tam giác vuông \( ABC \), đáy \( DE \) cũng vuông góc với \( AB \), mà \( AE \) và \( AD \) cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc tại \( A \).
- Do đó, \( AEF = 90^\circ \).

Như vậy, ta đã có hai góc vuông ở \( E \) và \( D \), chứng minh rằng tứ giác \( AEDF \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác \( ADEG \) là hình bình hành

Đặt điểm \( G \) là hình chiếu của điểm \( F \) lên \( AD \). Ta chứng minh \( AG = AF \).

1. Từ tam giác \( ADF \) vuông tại \( A \), ta có:
- \( AD \) là đường cao, nên \( AG \) (đường chiếu vuông góc từ \( F \) xuống \( AD \)) sẽ bằng \( AF \) theo định nghĩa của hình chiếu.

2. Vì \( AG = AF \), và \( AE = DE \) là hai đoạn thẳng song song, ta có:
- Hai cặp cạnh đối diện \( AD \) và \( GE \) song song và bằng nhau, đồng thời \( AE \) và \( DG \) cũng song song và bằng nhau.

Như vậy, từ đó suy ra tứ giác \( ADEG \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh góc \( AID = 90^\circ \)

1. Xét góc \( AID \):
- Điểm \( I \) là giao điểm của đường thẳng \( FI \) và đường thẳng \( EG \) với \( I \) thuộc \( EG \).
- Ta biết rằng \( EG \) vuông góc với \( FI \) theo yêu cầu bài toán.

2. Nhận thấy rằng:
- Từ tính chất của hình chữ nhật \( AEDF \), ta có \( AE \) vuông góc với \( AD \), do đó \( AID = 90^\circ \).

Tóm lại, qua các phần chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.