Cho hình chữ nhật ABCD (AB lớn hơn BC). Trên đường chéo AC lấy điểm M sao cho CM = CB. Qua điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt cạnh AB tại điểm O. Vẽ đường tròn (O;OB)

Để giải quyết câu hỏi, chúng ta cần phân tích các hình và mối liên hệ giữa chúng.

### Một số ký hiệu và đặc điểm về hình chữ nhật ABCD:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \).
- Đường chéo \( AC \) có điểm giữa là \( M \) sao cho \( CM = CB = b \).

### a. Chứng minh \( OM = OB \) và điểm \( M \) thuộc đường tròn \( (O;OB) \).

1. **Tính độ dài \( OC \):**
- \( AC = \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \)
- \( M \) nằm trên \( AC \).

2. **Tính \( CM \):**
- Theo giả thiết, \( CM = CB = b \).

3. **Tính độ dài \( OM \):**
- Do \( O \) là giao điểm của đường vuông góc nối \( M \) với \( AC \) và cắt \( AB \), nên có lẽ đây là một đường cao của tam giác từ \( M \) đến \( O \).
- Ta có \( OM \) cũng là độ dài từ \( O \) tới \( M \) trong tam giác vuông.

4. **Chứng minh \( OM = OB \):**
- Như đã trình bày, độ dài từ \( O \) đến \( B \) cũng phải thỏa mãn yêu cầu từ định nghĩa phía trên rằng \( O \) cách \( B \) và \( M \) ở một khoảng cách bằng nhau.

### b. Kẻ \( AH \) vuông góc với đường thẳng \( BM \):

1. **Tam giác AHB và BKC:**
- Các góc tương ứng tại \( A \) và \( B \) của tam giác đều có thể được tính từ định nghĩa độ dài chiếu lên các cạnh tương ứng.
- Vì \( AH \) vuông góc với \( BM \), và \( OC \) cắt \( BM \) tại \( K \), ta có các mối quan hệ giữa các góc.

2. **Chứng minh đồng dạng:**
- Chứng minh \( \triangle AHB \sim \triangle BKC \) có thể sử dụng tỷ lệ các cạnh và góc tương ứng.
- Xét các góc:
- \( \angle AHB = \angle BKC \) (góc chung)
- Chứng minh nó đồng dạng bằng cách chỉ ra rằng \( \angle ABH = \angle KBC \) từ hàng dọc \( AC \).

3. **Chứng minh tỷ lệ:**
\[
\cot^2 BCA = \frac{MB^2}{4MH \cdot BH}
\]
- Cách chứng minh rằng tích và cạnh của các tam giác có liên hệ trên có thể sử dụng các công thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông.

Tổng hợp lại, bạn cần phải tính chính xác các chu vi, trọng tâm, hoặc sử dụng các định lý liên quan đến các hình đã cho và công thức liên quan đến tam giác vuông.

Hy vọng với những gợi ý trên, bạn có thể tiếp tục phát triển phần chứng minh cho bài toán!