Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E; F; G lần lượt là trung điểm AB; BC; AC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành.

1. Vì E, F là trung điểm của AB và BC, nên \( AE = EB \) và \( BF = FC \).
2. Do tam giác ABC vuông tại A, chúng ta có \( AB \perp AC \).
3. Do đó, hình chiếu của BF lên đường thẳng EF là đường vuông góc với EF ở E.
4. Với câu này, ta có thể sử dụng định nghĩa hình bình hành để chứng minh rằng \( BE = IF \) và \( BI = EF \).
5. Vì E và F là trung điểm, và BE và IF nằm trên cùng một đoạn thẳng, do đó ta có \( BE = IF \).
6. Vì vậy, tứ giác BEIF là hình bình hành.

### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông.

1. Để AGCI là hình vuông, cần có A, G, C, I là 4 điểm sao cho 4 cạnh AG, GI, IC, CA đều bằng nhau và 4 góc của tứ giác này là \(90^{\circ}\).
2. Vì AG = AC và G là trung điểm của AC, ta có:
\[
AG = \frac{1}{2} AC.
\]
3. Để tứ giác AGCI là hình vuông, điều kiện chính là độ dài các cạnh phải bằng nhau, tức là \( AG = GC \).
4. Từ đó, điều kiện cần là tam giác ABC phải cân tại A, nghĩa là \( AB = AC \).

Với các bước trên, ta đã tìm được cách chứng minh và điều kiện cần thiết để hoàn thành bài toán.