Với các số thực dương \( a, b, c \) thỏa mãn \( a^2 + b^2 + \frac{9}{2}c^2 = 5 \), tìm giá trị lớn nhất của \( P = ab + bc + ca \)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = ab + bc + ca \) với các số thực dương \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện \( a^2 + b^2 + \frac{9}{2}c^2 = 5 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

1. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2
\]
Áp dụng cho trường hợp của ta:

Gọi \( x_1 = a, x_2 = b, x_3 = \frac{3}{\sqrt{2}}c \) (vì \( \frac{9}{2}c^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}c\right)^2 \)), và \( y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1 \).

Ta có:
\[
(a^2 + b^2 + \frac{9}{2}c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (ab + bc + ca)^2
\]
Từ điều kiện \( a^2 + b^2 + \frac{9}{2}c^2 = 5 \):
\[
(5)(3) \geq (ab + bc + ca)^2
\]
Suy ra:
\[
15 \geq (ab + bc + ca)^2
\]
Hay:
\[
\sqrt{15} \geq ab + bc + ca
\]

2. **Kiểm tra khả năng đạt được bằng \( \sqrt{15} \)**:

Để giá trị lớn nhất đạt được \( \sqrt{15} \), cần phải có \( ab + bc + ca = \sqrt{15} \). Điều này xảy ra khi các tỉ số \( \frac{a}{1}, \frac{b}{1}, \frac{c}{\frac{3}{\sqrt{2}}} \) đồng nhất.

Xét tỉ lệ:
\[
a = b = \frac{3}{\sqrt{2}}c
\]
Thay vào điều kiện:
\[
2\left(\frac{3}{\sqrt{2}}c\right)^2 + \frac{9}{2}c^2 = 5
\]
Tính toán:
\[
2 \cdot \frac{9}{2}c^2 + \frac{9}{2}c^2 = 5
\]
Suy ra:
\[
9c^2 = 5 \Rightarrow c^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow c = \frac{\sqrt{5}}{3}
\]
Từ đó, \( a = b = \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} \).

3. **Tính giá trị \( P \)**:

Thay vào \( P \):
\[
P = ab + bc + ca = 2\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{\sqrt{10}}{2}\right) = 2\cdot \frac{\sqrt{50}}{6} = \frac{\sqrt{15}}{3}.
\]

Kết luận, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{15} \).