Để tính giá trị của các biểu thức và giải phương trình, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### Phần 1: Tính giá trị biểu thức

Biểu thức cần tính là:
\[
\frac{1} { \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{64}{81}} - \frac{7}{5} \cdot \sqrt{\frac{100}{49}} } \cdot \sqrt{\frac{225}{256}}
\]

**Bước 1: Tính các căn bậc hai và các hệ số:**

1. Tính \(\sqrt{\frac{64}{81}}\):
\[
\sqrt{64} = 8, \quad \sqrt{81} = 9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{64}{81}} = \frac{8}{9}
\]

2. Tính \(\sqrt{\frac{100}{49}}\):
\[
\sqrt{100} = 10, \quad \sqrt{49} = 7 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{10}{7}
\]

3. Tính \(\sqrt{\frac{225}{256}}\):
\[
\sqrt{225} = 15, \quad \sqrt{256} = 16 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}
\]

**Bước 2: Thay các giá trị vào biểu thức:**
\[
\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}
\]
\[
\frac{7}{5} \cdot \frac{10}{7} = \frac{7 \cdot 10}{5 \cdot 7} = \frac{10}{5} = 2
\]

Thay vào biểu thức, ta có:
\[
\frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}
\]

**Bước 3: Tính giá trị biểu thức cuối cùng:**
\[
\frac{1}{-\frac{4}{3}} \cdot \frac{15}{16} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{15}{16} = -\frac{45}{64}
\]

### Kết quả phần 1:
\[
\text{Giá trị biểu thức là } -\frac{45}{64}
\]

### Phần 2: Giải phương trình

1. Giải phương trình:
\[
\left| \frac{5}{6} x + \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{3}
\]

Ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1:
\[
\frac{5}{6} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}
\]
- Trường hợp 2:
\[
\frac{5}{6} x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}
\]

**Giải Trường hợp 1:**
\[
\frac{5}{6} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}
\]
- Đưa về cùng mẫu:
\[
\frac{5}{6} x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}
\]
\[
\Rightarrow x = -\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}
\]

**Giải Trường hợp 2:**
\[
\frac{5}{6} x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}
\]
- Đưa về cùng mẫu:
\[
\frac{5}{6} x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2 + 3}{6} = -\frac{5}{6}
\]
\[
\Rightarrow x = -\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = -1
\]

### Kết quả phần 2:
\[
x = -\frac{1}{5} \text{ hoặc } x = -1
\]

### Phần cuối:
- Kết quả giá trị biểu thức là \( -\frac{45}{64} \)
- Nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{1}{5} \) và \( x = -1 \)