Để tính diện tích các tam giác \( S_{ABC} \) và \( S_{BCMN} \), ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho.

1. **Thông tin đã cho**:
- \( AN = BN \)
- \( AC = 4 \times AM \)
- \( S_{AMN} = 4 \text{ cm}^2 \)

2. **Tính diện tích \( S_{ABC} \)**:

- Gọi \( AN = BN = x \).
- Vì \( AC = 4 \times AM \), nên \( AM = \frac{AC}{4} \).
- Còn lại, ta có thể biểu diễn diện tích của tam giác \( ABC \) theo diện tích của tam giác \( AMN \).

Do \( AC \) là một cạnh lớn gấp 4 lần \( AM \), nên \( S_{ABC} \) sẽ lớn gấp 4 lần diện tích tam giác \( AMN \). Cụ thể,

\[
S_{ABC} = 4 \times S_{AMN} = 4 \times 4 \text{ cm}^2 = 16 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính diện tích \( S_{BCMN} \)**:

- Diện tích \( S_{BCM} \) là tổng diện tích của tam giác \( ABC \) trừ đi diện tích tam giác \( AMN \).

Ta có:

\[
S_{BCMN} = S_{ABC} - S_{AMN} = 16 \text{ cm}^2 - 4 \text{ cm}^2 = 12 \text{ cm}^2
\]

**Kết luận**:
- \( S_{ABC} = 16 \text{ cm}^2 \)
- \( S_{BCMN} = 12 \text{ cm}^2 \)