Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

**Phần a: Tứ giác AMCK là hình chữ nhật**

1. **Chứng minh AM ⊥ AC**: Do AM là đường cao trong tam giác ABC cân tại A, nên AM ⊥ AC.

2. **Chứng minh IK ⊥ AC**: Vì K là điểm đối xứng của M qua I (I là trung điểm của AC), nên IK cũng vuông góc với AC.

3. **Do AM và IK đều vuông góc với AC**, chúng ta có hai đường thẳng AM và IK đều vuông góc với đoạn thẳng AC, tức là AM ⊥ AC và IK ⊥ AC, điều này cho thấy rằng chúng song song với nhau.

4. **Chứng minh AM = IK**: Từ định nghĩa về điểm đối xứng, ta có IM = MK, và vì I là trung điểm của AC nên AI = IC. Do đó, AM = IK.

Vậy, chúng ta có một tứ giác AMCK với các tính chất: AM // IK và AM = IK. Do đó, tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

**Phần b: Chứng minh IM // AB**

1. **Dễ thấy rằng** I là trung điểm của AC và M nằm trên đường cao AM, trong khi AB là cạnh của tam giác ABC.

2. **Chứng minh tỉ lệ**: Vì tứ giác AMCK là hình chữ nhật nên IM || AC.

3. **Đối với tam giác cân ABC**, ta biết rằng AC cũng song song với AB, do đó IM cũng sẽ song song với AB.

Vì vậy, ta có IM // AB.

**Phần c: Chứng minh B, O, K thẳng hàng**

1. Gọi O là trung điểm của AM. Từ tính chất đã biết, AM // IK và K là điểm đối xứng của M qua I.

2. Vì I là trung điểm của AC, nên điểm K cũng nằm trên đường thẳng vuông góc với AC tại I.

3. Khi O là trung điểm của AM, do đó, tọa độ hoặc vị trí của O sẽ chia đoạn AM thành hai phần bằng nhau.

4. **Chứng minh thẳng hàng**: Ta có IM // AB và OK // AM. Bởi vậy, O, I và K có thể được tạo thành từ ba đường thẳng song song, chứng tỏ rằng B, O, K thẳng hàng.

Tóm lại, các tính chất đã chứng minh cho ta thấy rằng:

a) Tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

b) IM // AB.

c) Ba điểm B, O, K thẳng hàng.