Để giải bài toán này, ta cần thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết:

### a) Chứng minh ∆AIC = ∆DIB và AC ‖ BD.

1. **Xét hai tam giác ∆AIC và ∆DIB**:
- Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, chúng ta sử dụng định lý về tam giác đồng dạng.
- Ta có:
- AI = ID (do D được lấy trên tia đối của tia IA với ID = IA).
- I là trung điểm của BC, nên BI = IC.
- Góc ∠AIC = ∠DIB (góc chung).

- Từ các yếu tố trên, ta suy ra rằng:
- AI = ID,
- BI = IC,
- ∠AIC = ∠DIB.

- Từ đó, ta có ∆AIC = ∆DIB theo tiêu chuẩn cạnh – cạnh – góc (CCG) vì hai cạnh và một góc ở giữa bằng nhau.

2. **Chứng minh AC ‖ BD**:
- Do hai tam giác ∆AIC và ∆DIB bằng nhau, nên góc ∠AIC = ∠DIB.
- Nếu hai góc này bằng nhau và cùng nằm trên đường thẳng, ta có AC // BD.

### b) Kẻ AH ⊥ BC tại H, DK ⊥ BC tại K. Chứng minh AH ‖ DK và AH = DK.

1. Kẻ đường thẳng AH ⊥ BC tại H và DK ⊥ BC tại K.
2. Do AH ⊥ BC và DK ⊥ BC, nên ∠AHB = ∠DKB = 90 độ.
3. Vì tâm I là trung điểm của BC, suy ra hai đoạn thẳng AH và DK đều là đường vuông góc với BC, do đó:
- AH ‖ DK.
4. Để chứng minh AH = DK:
- Từ tam giác đồng dạng, ta có AI = ID, và do điểm I nằm giữa H và K, nên sẽ có AH = DK.

### c) Kéo dài AH cắt BD tại M, kéo dài DK cắt AC tại N. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.

1. Xét các đoạn thẳng sau khi kéo dài.
2. Do AH // DK, nên các đoạn cắt nhau ở điểm M và N sẽ tạo ra các góc đồng vị, từ đó suy ra các đường thẳng cấu thành.M, N, I sẽ thẳng hàng vì cả hai đều song song với BC và cùng bắt nguồn từ các điểm đã biết.

### Kết luận:
Từ ba yêu cầu, ta đã thực hiện thành công các chứng minh cần thiết cho bài toán hình học này.