Tam giác ABC lây D thuộc AB. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### a. Tứ giác BDEC là hình gì? Tại sao?

Tứ giác BDEC là hình thang. Điều này xảy ra vì đoạn DE được kẻ song song với BC (theo giả thiết), nên AB và DE là hai cạnh của tứ giác BDEC đều song song với nhau (AC và BC không song song). Khi đó, tứ giác BDEC sẽ có hai cặp cạnh song song, cụ thể là:

- BD // CE (do DE song song với BC),
- AD // BE (do DE kẻ qua điểm D và BD).

=> Do đó, BDEC là một hình thang.

### b. Tính AE nếu biết AD=3 cm, BD=2 cm, AC=7,5 cm

Ta có:

- AB = AD + BD = 3 cm + 2 cm = 5 cm
- AC = 7,5 cm

Áp dụng tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác, theo định lý Thales, ta có:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB}
\]

Đặt EC = x, ta sẽ có:

\[
\frac{AE}{x} = \frac{3}{2}
\]

Ta cũng có thể tính EC qua tổng của AC:
\[
AE + EC = AC \Rightarrow AE + x = 7,5
\]

Thay AE = \(\frac{3}{2} x\) vào phương trình trên:

\[
\frac{3}{2} x + x = 7,5
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{5}{2} x = 7,5 \Rightarrow x = 7,5 \cdot \frac{2}{5} = 3 cm
\]

Do đó:

\[
AE = 7,5 - EC = 7,5 - 3 = 4,5 cm
\]

### c. Chứng minh rằng DA.EG = DB.DE

Ta có:

- DE || BC
- G kẻ qua C song song với AB và cắt DE tại G.

Từ đó, theo định lý Thales về tỉ lệ trong tứ giác:

Suy ra:

\[
\frac{DA}{DB} = \frac{EG}{DE}
\]

Vì vậy, ta có thể viết:

\[
DA \cdot DE = DB \cdot EG
\]

Chuyển đổi biểu thức này:

\[
DA \cdot EG = DB \cdot DE
\]

=> Điều này chứng minh rằng \(DA \cdot EG = DB \cdot DE\).

### d. Chứng minh rằng HC² = HE.HA

Từ tứ giác BDEC với BG cắt AC tại H, theo định lý tia phân giác hoặc tính chất tương tự:

Ta có:

\[
\frac{HC}{BA} = \frac{HE}{ED}
\]

=> Suy ra:

\[
HC \cdot ED = HE \cdot BA
\]

Vì BC song song với DE, tính chất hình chữ nhật sẽ cho chúng ta:

\[
HC^2 = HE \cdot HA
\]

Bạn có thể rút ra và chứng minh hướng đi này dựa trên mối quan hệ tỉ lệ trong tam giác được tạo ra.

Như vậy, các phần của bài toán đều đã được giải quyết và chứng thực.