Để tìm các hệ số \( a, b, c \) sao cho \( P(x + 1) - P(x) = x^2 \) với \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1 \), ta bắt đầu tính \( P(x + 1) \):

\[
P(x + 1) = a(x + 1)^3 + b(x + 1)^2 + c(x + 1) + 1
\]

Phát triển thành:

\[
P(x + 1) = a(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + b(x^2 + 2x + 1) + c(x + 1) + 1
\]

\[
= ax^3 + 3ax^2 + 3ax + a + bx^2 + 2bx + b + cx + c + 1
\]

Gộp lại:

\[
P(x + 1) = ax^3 + (3a + b)x^2 + (3a + 2b + c)x + (a + b + c + 1)
\]

Giờ chúng ta tính \( P(x + 1) - P(x) \):

\[
P(x + 1) - P(x) = [(3a + b)x^2 + (3a + 2b + c)x + (a + b + c + 1)] - [ax^3 + bx^2 + cx + 1]
\]

Gộp lại:

\[
= (3a + b - b)x^2 + (3a + 2b + c - c)x + (a + b + c + 1 - 1)
\]

\[
= 3ax^2 + (3a + 2b)x + (a + b + c)
\]

Theo đề bài, ta có:

\[
P(x + 1) - P(x) = x^2 \implies 3a = 1, \quad (3a + 2b) = 0, \quad (a + b + c) = 0
\]

Từ \( 3a = 1 \):

\[
a = \frac{1}{3}
\]

Thay vào phương trình \( 3a + 2b = 0 \):

\[
3(\frac{1}{3}) + 2b = 0 \implies 1 + 2b = 0 \implies 2b = -1 \implies b = -\frac{1}{2}
\]

Cuối cùng, thay \( a \) và \( b \) vào phương trình \( a + b + c = 0 \):

\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + c = 0
\]

Tìm \( c \):

\[
c = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}
\]

Tóm lại, các giá trị tìm được là:

\[
\boxed{a = \frac{1}{3}, \quad b = -\frac{1}{2}, \quad c = \frac{1}{6}}
\]