Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) (điều kiện \(a > 0,b > 0,c > 0\)).

Độ dài \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}OB = 3OA\\OC = 3OB\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 3b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 9a\end{array} \right.\).

Do đó \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;3a;0} \right),C\left( {0;0;9a} \right)\).

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y} + \frac{z} = 1\).

Vì \(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{2} + \frac{3} = 1 \Leftrightarrow 6 = 3a \Leftrightarrow a = 2\).

Suy ra \(\left( \alpha \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z} = 1 \Leftrightarrow 9x + 3y + z - 18 = 0\).

Do đó \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {9.0 + 3.0 + 0 - 18} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{18\sqrt {91} }} \approx 1,9\).