Để tính tích phân

\[
\int_0^1 (4x^3 + x) \, dx,
\]

trước tiên, ta sẽ tách tích phân thành hai phần:

\[
\int_0^1 (4x^3) \, dx + \int_0^1 (x) \, dx.
\]

**Bước 1: Tính tích phân \(\int_0^1 4x^3 \, dx\)**

Áp dụng công thức tích phân:

\[
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
\]

thì

\[
\int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4.
\]

Tính trong khoảng từ 0 đến 1:

\[
\left[ x^4 \right]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1 - 0 = 1.
\]

**Bước 2: Tính tích phân \(\int_0^1 x \, dx\)**

Áp dụng tương tự:

\[
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}.
\]

Tính trong khoảng từ 0 đến 1:

\[
\left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.
\]

**Bước 3: Tính kết quả cuối cùng**

Cộng hai kết quả lại với nhau:

\[
1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
\]

Vậy giá trị của tích phân là

\[
\int_0^1 (4x^3 + x) \, dx = \frac{3}{2}.
\]