Tính:

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định các thông tin đã cho:

- \( |\vec{a}| = 4 \)
- \( |\vec{b}| = 3 \)
- \( |\vec{a} + \vec{b}| = 2\sqrt{7} \)

Ta cần tính \( \text{cos}(\angle (\vec{a}, \vec{b})) \) để có thể tính được sin.

Áp dụng công thức độ dài của tổng hai vector:

\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle (\vec{a}, \vec{b}))
\]

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

\[
(2\sqrt{7})^2 = 4^2 + 3^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b}))
\]

Tính toán:

\[
28 = 16 + 9 + 24 \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b}))
\]
\[
28 = 25 + 24 \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b}))
\]
\[
28 - 25 = 24 \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b}))
\]
\[
3 = 24 \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b}))
\]
\[
\cos(\angle (\vec{a}, \vec{b})) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}
\]

Tiếp theo, ta sử dụng định lý Pythagore để tính sin:

\[
\sin^2(\angle (\vec{a}, \vec{b})) + \cos^2(\angle (\vec{a}, \vec{b})) = 1
\]

Thay \( \cos(\angle (\vec{a}, \vec{b})) \):

\[
\sin^2(\angle (\vec{a}, \vec{b})) + \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2(\angle (\vec{a}, \vec{b})) + \frac{1}{64} = 1
\]
\[
\sin^2(\angle (\vec{a}, \vec{b})) = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}
\]
\[
\sin(\angle (\vec{a}, \vec{b})) = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\sin(\angle (\vec{a}, \vec{b})) = \frac{\sqrt{63}}{8}
\]