Cho tam giác HKT vuông tại H (HK

Để chứng minh tứ giác HFIE là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh hai điều: HF || IE và HI = FE.

1. **Chứng minh HF || IE:**
- Ta có tam giác HKT vuông tại H, nghĩa là HK vuông góc với HT.
- I là trung điểm của KT nên ta có \(\overline{HI} = \overline{IK}\).
- Vì IF vuông góc với HT (tại F) và IE vuông góc với HK (tại E), nên:
- HF vuông góc với HT.
- IE vuông góc với HK.
- Xét hai đường thẳng HF và IE:
- Đường thẳng HF vuông góc với HT (nên HF có phương vuông góc với HT).
- Đường thẳng IE vuông góc với HK (nên IE có phương vuông góc với HK).
- Do HK vuông góc với HT (vì HKT vuông tại H), nên HF || IE (hai đường thẳng vuông góc cùng một đường thẳng thì song song với nhau).

2. **Chứng minh HI = FE:**
- Từ I là trung điểm của KT, ta có \(\overline{HI} = \overline{IK}\).
- Vì H là điểm đầu của đoạn HI và K là điểm cuối đoạn IK, nên độ dài đoạn HI = độ dài đoạn IK.
- Trong tam giác vuông HKT, do định nghĩa hình vuông:
- Đoạn IF và đoạn IE là hai cạnh vuông góc trong hình chữ nhật HFIE, nên nếu tiếp tục chứng minh rằng các đoạn này là bằng nhau.
- Vậy, ta có:
- \(\overline{HF} = \overline{IE}\) (Cạnh đối của hình chữ nhật là bằng nhau).
- Do trung điểm I trên KT, suy ra HI = FE.

Từ hai chứng minh trên, ta có tứ giác HFIE thỏa mãn các điều kiện của hình chữ nhật: hai cạnh đối song song và độ dài bằng nhau.

Vì vậy, tứ giác HFIE là hình chữ nhật.