Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 2x + y^2 - y \), ta có thể tách và hoàn thành bình phương cho từng phần.

### Phần x
Biểu thức \( x^2 - 2x \) có thể được viết lại bằng cách hoàn thành bình phương:
\[
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
\]

### Phần y
Tương tự, biểu thức \( y^2 - y \) cũng có thể hoàn thành bình phương:
\[
y^2 - y = (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}
\]

### Tổng hợp
Kết hợp lại, ta có:
\[
A = (x - 1)^2 - 1 + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}
\]
\[
= (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}
\]

### Tìm giá trị nhỏ nhất
Biểu thức \( (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \) có giá trị nhỏ nhất là 0 (khi \( x = 1 \) và \( y = \frac{1}{2} \)).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
A_{\text{min}} = 0 - \frac{5}{4} = -\frac{5}{4}
\]

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( -\frac{5}{4} \).