Để chứng minh các kết luận đã cho đối với hình thang ABCD với AB || CD, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh rằng \( \frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD} \)

**Chứng minh:**
Gọi \( AB = a \), \( CD = b \). Theo định nghĩa, \( M \) là trung điểm của \( CD \), nên \( CM = MD = \frac{b}{2} \).

Xét tam giác \( ACD \), dựa vào tỉ lệ phân chia đoạn thẳng của \( E \) khi giao điểm \( E \) được xác định là giao của hai đoạn thẳng \( AC \) và \( BM \).

Do \( M \) là trung điểm của \( CD \), có \( BM \) nên:
- Tỉ lệ phân đoạn \( AE \) và \( EC \) sẽ tỷ lệ với độ dài các cạnh tương ứng trên hai cạnh của tứ giác \( ABCD \).

Áp dụng tính chất tỉ lệ trong tam giác, ta có:
\[ \frac{EA}{EC} = \frac{AB \cdot MB}{CD \cdot MA} \]

Vì \( M \) là trung điểm, \( MA = MB \). Do đó, ta có thể viết lại:
\[ \frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD} \cdot \frac{MB}{MA} = \frac{2AB}{CD} \]
Chứng minh hoàn tất.

### b) Chứng minh rằng EF // CD

**Chứng minh:**
Gọi \( F \) là giao điểm của \( BD \) và \( AM \). Để chứng minh rằng \( EF \) || \( CD \), ta sẽ sử dụng tính chất tỉ lệ.
- Do \( M \) là trung điểm của \( CD \) và theo định nghĩa \( M \) chia \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Xét hai tam giác: \( \triangle ABE \) và \( \triangle DCF \). Ta có \( \frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD} \) và các tam giác này có các cạnh song song.
- Theo định lý về tỉ lệ cạnh trong hai tam giác có góc tương ứng, suy ra đường thẳng \( EF \) sẽ song song với \( CD \).

### c) Chứng minh rằng HF = EF = EG

**Chứng minh:**
Giả sử \( EF \) cắt \( BC \) tại \( G \) và \( AD \) tại \( H \). Do \( EF \) song song với \( CD \), các đoạn phân chia giữa \( H \) và \( F \), và giữa \( E \) và \( G \) đều sẽ có tỉ lệ nhất định.

Do tính chất của hình thang và tính chất đường thẳng song song (có các góc so le trong và góc đồng vị bằng nhau), ta có:
\[ \frac{HF}{EG} = \frac{AB}{CD} \]
Bằng cách chứng minh rằng \( \triangle HFD \sim \triangle EGC \), ta có tỉ số giữa các cạnh bằng nhau và do đó \( HF = EF = EG \).

### d) Chứng minh rằng OM, DG, CH đồng quy

**Chứng minh:**
Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Để chứng minh các đường thẳng \( OM \), \( DG \), và \( CH \) đồng quy, ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với các đường thẳng \( OM \), \( DG \), và \( CH \).

Theo định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \):
- \( \frac{AO}{OC} \cdot \frac{CM}{MD} \cdot \frac{HB}{BA} = 1 \) sẽ cho thấy tính đồng quy của chúng .

Trong hệ tọa độ, nếu ta thiết lập tọa độ cho các điểm \( A, B, C, D \) thì việc tính toán sẽ minh chứng cho mối quan hệ đồng quy nêu trên.

Vì vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán cho hình thang ABCD.