Để chứng minh \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 \) chia hết cho 4, trước hết chúng ta có thể sử dụng công thức cho tổng của một cấp số nhân.

Biểu thức của \( A \) là một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, tỉ số là 3. Số hạng cuối là \( 3^5 \). Tổng của một cấp số nhân có thể được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( S_n \) là tổng của n số hạng.
- \( a \) là số hạng đầu.
- \( r \) là tỉ số.
- \( n \) là số hạng cuối.

Ở đây, \( a = 1 \), \( r = 3 \), và số hạng cuối là 6 (từ \( 1 \) đến \( 3^5 \), có 6 số hạng).

Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
A = 1 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = \frac{3^6 - 1}{2}
\]

Bây giờ, tính \( 3^6 - 1 \):

\[
3^6 = 729 \implies 3^6 - 1 = 728
\]

Vì vậy:

\[
A = \frac{728}{2} = 364
\]

Bây giờ, chúng ta kiểm tra xem 364 có chia hết cho 4 hay không:

\[
364 \div 4 = 91
\]

Kết quả là 91, do đó \( 364 \) chia hết cho 4.

Vì vậy, ta đã chứng minh rằng \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 \) chia hết cho 4.