Tìm số nguyên x, biết: | x + 20 | + | x + 11 | + | x + 2025 | = 7x

Để giải phương trình \( | x + 20 | + | x + 11 | + | x + 2025 | = 7x \), chúng ta cần phân tích các biểu thức giá trị tuyệt đối và tìm các khoảng cho \( x \).

Với các giá trị \( x \) khác nhau, ta có thể xác định các điểm ngắt cho giá trị tuyệt đối tại \( x = -2025, -20, -11 \). Vì vậy, chúng ta sẽ chia bài toán thành 4 khoảng:

1. **Khoảng 1**: \( x < -2025 \)
2. **Khoảng 2**: \( -2025 \leq x < -20 \)
3. **Khoảng 3**: \( -20 \leq x < -11 \)
4. **Khoảng 4**: \( x \geq -11 \)

### Khoảng 1: \( x < -2025 \)
Trong khoảng này, ta có:
\[
| x + 20 | = - (x + 20), \quad | x + 11 | = - (x + 11), \quad | x + 2025 | = - (x + 2025)
\]
=> Phương trình trở thành:
\[
-(x + 20) - (x + 11) - (x + 2025) = 7x
\]
\[
-3x - 2056 = 7x
\]
\[
-10x = 2056 \Rightarrow x = -205.6
\]
Giá trị này không thỏa mãn điều kiện \( x < -2025 \).

### Khoảng 2: \( -2025 \leq x < -20 \)
Trong khoảng này, ta có:
\[
| x + 20 | = - (x + 20), \quad | x + 11 | = - (x + 11), \quad | x + 2025 | = x + 2025
\]
=> Phương trình trở thành:
\[
-(x + 20) - (x + 11) + (x + 2025) = 7x
\]
\[
-2x + 1994 = 7x
\]
\[
1994 = 9x \Rightarrow x = \frac{1994}{9} \approx 221.56
\]
Giá trị này không thỏa mãn điều kiện \( -2025 \leq x < -20 \).

### Khoảng 3: \( -20 \leq x < -11 \)
Trong khoảng này, ta có:
\[
| x + 20 | = x + 20, \quad | x + 11 | = - (x + 11), \quad | x + 2025 | = x + 2025
\]
=> Phương trình trở thành:
\[
(x + 20) - (x + 11) + (x + 2025) = 7x
\]
\[
20 - 11 + 2025 = 7x
\]
\[
2034 = 7x \Rightarrow x = \frac{2034}{7} = 290.57
\]
Giá trị này không thỏa mãn điều kiện \( -20 \leq x < -11 \).

### Khoảng 4: \( x \geq -11 \)
Trong khoảng này, ta có:
\[
| x + 20 | = x + 20, \quad | x + 11 | = x + 11, \quad | x + 2025 | = x + 2025
\]
=> Phương trình trở thành:
\[
(x + 20) + (x + 11) + (x + 2025) = 7x
\]
\[
3x + 2056 = 7x
\]
\[
2056 = 4x \Rightarrow x = 514
\]
Giá trị \( x = 514 \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq -11 \).

### Kiểm tra lại giá trị \( x = 514 \)
Thay \( x = 514 \) vào phương trình gốc:
\[
| 514 + 20 | + | 514 + 11 | + | 514 + 2025 |
\]
\[
= 534 + 525 + 2539 = 3598
\]
\[
7x = 7 \times 514 = 3598
\]

Giá trị này thỏa mãn. Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
\[
\boxed{514}
\]