Để xét tính liên tục của hàm số \( f(x) \) trên toàn bộ tập xác định, chúng ta cần kiểm tra liên tục tại điểm \( x = 1 \) (điểm phân chia hai miền của hàm).

1. **Liên tục tại các điểm khác \( x = 1 \)**:
- Với \( x \leq 1 \), hàm \( f(x) = -\frac{x}{2} \) là một hàm bậc nhất, nên liên tục trên miền này.
- Với \( x > 1 \), hàm \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} \), rút gọn thành \( f(x) = \frac{x-2}{x+1} \) (với \( x \neq 1 \)). Hàm này cũng liên tục với \( x > 1 \).

2. **Liên tục tại \( x = 1 \)**:
- Tính giá trị \( f(1) \):
\[
f(1) = -\frac{1}{2} = -0.5
\]
- Tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ trái:
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\frac{1}{2}
\]
- Tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ phải:
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1-2}{1+1} = -\frac{1}{2}
\]

Kết luận:
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = -\frac{1}{2}
\]
Vì đây là các giá trị bằng nhau, nên hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \).

**Kết luận chung**: Hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \).