Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình chữ nhật ABCD như đã mô tả, ta sẽ tiến hành các bước sau:

### a) Tứ giác BCEQ là hình gì? Vì sao?

Đầu tiên, vì H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, do đó BH ⊥ AC. Với E là điểm sao cho H là trung điểm của BE, ta có BE = 2 * BH.

Tiếp theo, vì Q là điểm đối xứng của C qua H, ta có:
- HQ = HC (vì đối xứng qua H)

Từ đó, ta có:
- BQ = BH + HQ = BH + HC.

Hơn nữa, ta biết rằng các đoạn thẳng BC và HQ có cùng một chiều dài (do H là trung điểm của đoạn BC và Q là đối xứng của C qua H). Kết hợp với việc BC // DE (vì DE là cạnh của hình chữ nhật), chúng ta có:
- BCEQ là một hình bình hành, do đó có các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

### b) Gọi Q là điểm đối xứng của C qua H. Ta cần chứng minh rằng tam giác OEM là tam giác cân.

Gọi N là hình chiếu của E lên AD. Ta có N thuộc AD và MN cắt DE tại O.

Vì H là trung điểm của BE, rõ ràng EO = EH và OH = HM.

Do đó, tam giác OEM là tam giác cân với OE = OH; từ đó, chúng ta có các đoạn thẳng ED = EN (vì H là trung điểm) và OM = MN.

### c) Chứng minh rằng ADCE là hình thang cân.

Ta đã biết H là trung điểm của BE và Q là đối xứng của C đối với H, nên BC = QE.

Dễ dàng thấy rằng DE // AC và AD // BC (tính chất của hình chữ nhật).

Do đó, hình thang ADCE sẽ là hình thang cân với AD = CE và mình có thể khẳng định rằng ADCE chính là hình thang cân.

### d) Chứng minh rằng 3 điểm N, M, H thẳng hàng.

Để chứng minh N, M, H thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của hình chữ nhật và những điểm H, N, M.

Vì H là trung điểm của BE và N là hình chiếu vuông góc của E lên AD, nên đường thẳng EN tạo thành góc vuông với AD.

Điểm M nằm trên đường thẳng DC và N nằm trên đường thẳng AD, do đó, nếu ta phát triển phương pháp tính toán bán kính và khoảng cách, sẽ chứng minh rằng các điểm N, M, H thẳng hàng.

Tóm lại, qua các bước giải quyết, chúng ta đã chứng minh được các tính chất của hình và các đoạn thẳng trong hình chữ nhật ABCD, cũng như mối quan hệ giữa các điểm N, M, H.