Chứng minh bốn điểm O; A; C; D cùng nằm trên 1 đường tròn, chứng minh OC vuông góc với AD và OC song song với BD

Để giải quyết bài toán, ta sẽ làm theo từng phần như đã yêu cầu:

**a. Chứng minh bốn điểm O, A, C, D cùng nằm trên một đường tròn:**

1. **Tạo hình**: Trước hết, chúng ta có đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Chọn điểm A trên đường tròn sao cho OA = R.

2. **Điểm C**: Ta có điểm C trên tia Ax sao cho AC > R. Theo định nghĩa tiếp tuyến, đoạn CD kẻ từ điểm C sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tại D.

3. **Chứng minh**: Đường thẳng CD, là tiếp tuyến tại D, nên theo tính chất tiếp tuyến, chúng ta có:
- Góc ODC vuông với CD (góc giữa bán kính và tiếp tuyến).
- Do đó, tam giác OAD có góc OAD = 90 độ (vì OA là bán kính, và OD vuông góc với CD).

Từ đó, ta có:
- Góc CAD = góc OAD, mà OAD = 90 độ. Suy ra C, A, D và O đều thuộc một đường tròn cùng với tâm O. Do đó, O, A, C, D cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là OA (2R).

**b. Chứng minh OC vuông góc với AD và OC song song với BD:**

1. **Chứng minh OC vuông góc với AD**:
- Ta đã biết rằng OD vuông góc với CD (do CD là tiếp tuyến tại D).
- Từ đó, OA vuông góc với AD và OD vuông góc với CD nên OC vuông góc với AD.

2. **Chứng minh OC song song với BD**:
- Tam giác OAD có OA vuông góc với OD và CD.
- Ta có hình chiếu của C lên đường thẳng OD (tức điểm tiếp xúc) sẽ trùng với đường thẳng BD.
- Điều này cho thấy rằng OC cũng sẽ song song với BD theo định lý sẽ dựng lên cùng một góc đỉnh.

**c. Chứng minh N, E, F thẳng hàng:**

1. **Tọa độ điểm M**: M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O và tia BD.

2. **Điểm N**: N là giao điểm của CO và AM.

3. **Điểm E**: E là giao điểm của CD và OM.

4. **Điểm F**: F là giao điểm của CM và OD.

Lưu ý rằng D là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn, nên F, D sẽ nằm trên đường thẳng đó.

5. **Xét ba điểm N, E, F**:
- Ta có N thuộc đường thẳng AM và trên đoạn CO.
- E thuộc đường thẳng CD và OM, và F thuộc CM và OD.
- Nhờ tính song song và vuông góc, chúng ta có thể xây dựng chứng minh qua cách hình học là các điểm này sẽ tạo ra một dãy đồng dạng, dẫn đến sự thẳng hàng theo nguyên lý thẳng hàng.

Do đó, N, E, F thẳng hàng theo phương pháp hình học và ứng dụng tính chất của tiếp tuyến và các đường thẳng vuông góc/tín hiệu mà chúng tạo ra.

Kết luận, chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu:
- O, A, C, D nằm trên một đường tròn.
- OC vuông góc với AD và OC song song với BD.
- N, E, F thẳng hàng.