Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ bắt đầu từ việc sử dụng những tính chất hình học cơ bản liên quan đến tam giác và các điểm được định nghĩa.

**Phần 1: Chứng minh ∆AMB = ∆DMC**

1. **Tam giác ABC vuông tại A** nên có:
- \( AB \perp AC \)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), tức là \( BM = MC \).

2. **Điểm D** được đặt tại tia đối của \( MA \), và có điều kiện \( AM = MD \). Từ điều kiện này, chúng ta có:
- \( AM = MD \)

3. **Xét các đoạn thẳng:**
- \( AM \) và \( MD \) là hai đoạn bằng nhau.
- \( BM = MC \) do \( M \) là trung điểm.

**Sử dụng định lý tam giác:**
- Tam giác \( AMB \) và tam giác \( DMC \) có các cạnh sau đây bằng nhau:
- \( AM = MD \)
- \( BM = MC \)

4. **Góc:**
- Xét góc \( \angle AMB \) và \( \angle DMC \):
- Chú ý rằng \( \angle AMB = \angle DMC \) (do cả hai góc này đều được tạo thành từ các đoạn thẳng vuông góc xuống từ M tới AC).

5. **Kết luận**:
Suy ra:
\[
\Delta AMB \cong \Delta DMC
\]

---

**Phần 2: Chứng minh rằng BI // CK và AI = DK**

1. **Kẻ BI vuông góc với AD tại điểm I** và CK vuông góc với AD tại điểm K.

2. **Vì \( \Delta AMB \cong \Delta DMC \)** nên các cạnh tương ứng của chúng cũng bằng nhau:
- \( AB = DC \) và \( AM = MD \).

3. **Xét hai tam giác \( \Delta AMB \) và \( \Delta DMC \):**
- Góc \( \angle AMB = \angle DMC \): tương ứng.
- \( BI \perp AD \) và \( CK \perp AD \).

4. **Từ các tính chất hình học**, ta có thể suy ra rằng đường thẳng BI sẽ song song với đường thẳng CK:
\[
BI \parallel CK
\]

5. **Vì \( AI \) và \( DK \) là hai đoạn vuông góc hạ xuống từ A và D**, nên ta có:
\[
AI = DK
\]

---

**Phần 3: Chứng minh rằng góc ADC = 90 độ và AD = BC**

1. **Từ điều kiện tam giác vuông tại A**, ta có:
- \( BC \) là cạnh huyền.

2. **Từ các điểm đã cho**, chúng ta biết rằng \( D \) là điểm đối diện với \( A\) và được tạo thành từ các đoạn thẳng vuông góc của hình chữ nhật tạo bởi điểm A, M, B, C.

3. **Xét góc ADC**:
- Xét tam giác \( \Delta AMC \) vuông tại \( A \) và điểm \( D \) đã được định nghĩa. Do đó, ta có:
\[
\angle ADC = 90^{\circ}
\]
- Vậy, từ hình vẽ, sẽ thấy luôn có:
\[
AD = BC
\]

---

**Hình vẽ**: Theo cách trình bày này, bạn có thể tự vẽ hình theo các bước đã mô tả để thể hiện mối quan hệ giữa các điểm và các tam giác trong bài toán.