Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tỉ lệ mà bạn đưa ra:

1. Từ \(\frac{x}{2} = \frac{z}{3}\), ta có:
\[
x = \frac{2z}{3}
\]

2. Từ \(\frac{y}{4} = \frac{z}{5}\), ta có:
\[
y = \frac{4z}{5}
\]

Tiếp theo, ta thay \(x\) và \(y\) vào biểu thức \(P\):

\[
P = \frac{x + 2y + z}{3x + y + 2z}
\]

Thay giá trị của \(x\) và \(y\) vào:

- Tính tử số:
\[
x + 2y + z = \frac{2z}{3} + 2 \left(\frac{4z}{5}\right) + z
\]
\[
= \frac{2z}{3} + \frac{8z}{5} + z
\]

Để thực hiện phép cộng này, ta quy đổi về cùng mẫu số. Mẫu số chung giữa 3 và 5 là 15. Ta có:
\[
\frac{2z}{3} = \frac{10z}{15}, \quad \frac{8z}{5} = \frac{24z}{15}, \quad z = \frac{15z}{15}
\]

Do đó, tử số trở thành:
\[
\frac{10z}{15} + \frac{24z}{15} + \frac{15z}{15} = \frac{49z}{15}
\]

- Tính mẫu số:
\[
3x + y + 2z = 3 \left(\frac{2z}{3}\right) + \frac{4z}{5} + 2z
\]
\[
= 2z + \frac{4z}{5} + 2z
\]
\[
= 4z + \frac{4z}{5}
\]

Quy đổi về cùng mẫu số (mẫu số chung là 5):
\[
4z = \frac{20z}{5}
\]
Do đó, mẫu số trở thành:
\[
\frac{20z}{5} + \frac{4z}{5} = \frac{24z}{5}
\]

Bây giờ, ta thay tất cả vào biểu thức \(P\):
\[
P = \frac{\frac{49z}{15}}{\frac{24z}{5}}
\]

Nhân cả hai bên với \(\frac{5}{z}\) (giả sử \(z \neq 0\)):
\[
P = \frac{49 \cdot 5}{15 \cdot 24} = \frac{245}{360}
\]

Rút gọn phân số:
\[
\frac{245}{360} = \frac{49}{72}
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \(P\) là:
\[
\boxed{\frac{49}{72}}
\]