Để chứng minh các kết quả trong tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, chúng ta sẽ làm theo từng bước.

### a. Chứng minh A, E, H, D thuộc đường tròn tâm O

1. **Thiết lập vị trí**: Xét tam giác ABC với các đường cao BD và CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chúng ta cần chứng minh các điểm A, E, H, D là đồng trên một đường tròn.

2. **Xem xét góc**: Ta có ∠AHE và ∠ADE.
- ∠AHE = 90° - ∠ACB (bởi vì BD là đường cao, AE vuông góc với BC)
- ∠ADE = 90° - ∠ABC (bởi vì CE là đường cao, AD vuông góc với BC)

3. **Tính toán góc**:
- Cho rằng E và D là các điểm trên các đường cao, nên ∠AHE + ∠ADE = (90° - ∠ACB) + (90° - ∠ABC) = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - ∠BAC.
- Do đó, ∠AHE + ∠ADE = 180° - ∠BAC ⇒ ∠AHE + ∠ADE = 180°.

4. **Kết luận**: Do đó, A, E, H, D thuộc về một đường tròn có tâm O (góc AHE và góc ADE bù nhau).

### b. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

1. **Điểm I**: Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Để chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn đường tròn O, ta cần chứng minh rằng góc AIE bằng góc AOP, với P là giao điểm của đường tròn O với đoạn thẳng AE.

2. **Cân bằng góc**: Ta đã biết \[ IE \perp AE \] do đường AE là tiếp tuyến tại điểm E.
- Để chứng minh điều này, ta chỉ ra rằng ∠AIE = 90° khi I là trung điểm BC.

3. **Áp dụng tính chất hình học**:
- Bởi vì AE không chỉ là một tiếp tuyến mà còn là một đường phân giác của tam giác ABE, kết hợp với tính chất các đường cao giao nhau tại H, chúng ta có rằng I và E sẽ tạo thành một tiếp tuyến IE tại điểm E.

4. **Kết luận**: Từ các yếu tố hình học nêu trên, kích thước của các góc cho thấy IE là tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại điểm E.

### Tóm lại
- A, E, H, D thuộc một đường tròn có tâm O.
- IE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.