Để tìm các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình:

\[
x^2 + xy - 6y^2 + x + 13y = 17
\]

ta có thể rearrange phương trình thành dạng chuẩn hơn:

\[
x^2 + (y + 1)x + (-6y^2 + 13y - 17) = 0
\]

Phương trình trên là một phương trình bậc hai với \( x \). Để có các nghiệm nguyên, delta của phương trình này phải là một số chính phương. Tính delta:

\[
\Delta = (y + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2 + 13y - 17)
\]

Tính toán delta:

\[
\Delta = (y + 1)^2 + 24y^2 - 52y + 68 = 25y^2 - 51y + 69
\]

Ta cần tìm \( y \) sao cho \( \Delta \) là chính phương. Cách làm là xét các giá trị nguyên của \( y \) và tìm \( \Delta \) cho từng giá trị.

### Thử các giá trị của \( y \):

1. **Khi \( y = 0 \)**:
\[
\Delta = 69 \quad \text{(không phải là chính phương)}
\]

2. **Khi \( y = 1 \)**:
\[
\Delta = 25 \quad \text{(là chính phương: } 5^2\text{)}
\]
Vậy ta giải phương trình:
\[
x^2 + 2x + 1 - 17 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 16 = 0
\]
\[
x = \frac{-2 \pm 6}{2} = 2 \quad \text{hoặc } -8
\]
Ta có cặp: \( (2, 1) \) và \( (-8, 1) \).

3. **Khi \( y = 2 \)**:
\[
\Delta = 1 \quad \text{(là chính phương: } 1^2\text{)}
\]
Vậy ta giải phương trình:
\[
x^2 + 3x - 19 = 0
\]
\[
x = \frac{-3 \pm 7}{2} = 2 \quad \text{hoặc } -5
\]
Ta có cặp: \( (2, 2) \) và \( (-5, 2) \).

4. **Khi \( y = 3 \)**:
\[
\Delta = 25 \quad \text{(là chính phương: } 5^2\text{)}
\]
Giải phương trình:
\[
x^2 + 4x - 22 = 0
\]
\[
x = \frac{-4 \pm 8}{2} = 2 \quad \text{hoặc } -6
\]
Ta có cặp: \( (2, 3) \) và \( (-6, 3) \).

### Tiếp tục thử các giá trị \( y \):

Bằng cách này, ta có thể tìm thêm các giá trị \( y \) và nghiệm tương ứng \( x \).

### Kết luận:

Các cặp \( (x, y) \) nguyên mà bạn có thể tìm được từ phương trình là:
- \( (2, 1) \)
- \( (-8, 1) \)
- \( (2, 2) \)
- \( (-5, 2) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (-6, 3) \)

Bạn nên tiếp tục thử nghiệm để đảm bảo không bỏ sót giá trị nào.