Để chứng minh \( HM \parallel AB \) và \( CH \cdot CB = CM \cdot CA \), chúng ta có thể sử dụng định lý Thales.

### Bước 1: Chứng minh \( HM \parallel AB \)
- Xét tam giác vuông \( ABC \) (cân tại \( B \)).
- Gọi \( H \) là trung điểm của cạnh \( AB \) và \( M \) là trung điểm của cạnh \( AC \).
- Theo định lý Thales: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba, thì nó chia các cạnh đó theo tỉ lệ bằng nhau.
- Vì \( H \) và \( M \) là trung điểm, ta có:

\[
\frac{AH}{HB} = \frac{AC}{CB} = 1 \quad \text{(do ABC cân)}
\]

- Do đó, theo định lý Thales, ta có \( HM \parallel AB \).

### Bước 2: Chứng minh \( CH \cdot CB = CM \cdot CA \)
- Vì \( H \) và \( M \) là trung điểm, ta có \( AH = HB = \frac{AB}{2} \) và \( AM = MC = \frac{AC}{2} \).
- Áp dụng định lý Thales cho đoạn \( HM \) song song với \( AB \):

\[
\frac{CH}{CB} = \frac{CM}{CA}
\]

- Khi đó, từ đó ta có thể dễ dàng rút ra:

\[
CH \cdot CA = CM \cdot CB
\]

- Nhân cả hai vế với \( CB \) và \( CA \):

\[
CH \cdot CB = CM \cdot CA
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được hai yếu tố cần thiết:

1. \( HM \parallel AB \)
2. \( CH \cdot CB = CM \cdot CA \)

Nếu cần thêm thông tin hay hướng dẫn chi tiết hơn, bạn có thể hỏi thêm!