Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{4c^2}{a} \geq a + 3b \) với điều kiện \( a, b, c > 0 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số \( (a, b, 2\sqrt{c}) \) và ba số \( \left(\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}\right) \):

\[
\left( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + 4\frac{c^2}{a} \right) \left( b + c + \frac{4c^2}{a} \right) \geq (a + 2b + 2\sqrt{4c^2})^2
\]

Clichcia,

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + 4\frac{c^2}{a} \geq a + 3b
\]

Dễ thấy rằng trước tiên ta sẽ biến đổi biểu thức bên trái về hiện trạng của bên phải bằng cách chuẩn hoá lại:

1. Dễ dàng nhận ra rằng ta có thể ký hiệu các phần của bất đẳng thức.
2. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để nhận xét về các thành phần.

Ta muốn sử dụng:

\[
\frac{a^2}{b} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot 1} \Rightarrow \frac{a^2}{b} + 1 \geq 2a
\]
\[
\Rightarrow \Rightarrow \frac{b^2}{c} \geq 2\sqrt{\frac{b^2}{c} \cdot 1} \Rightarrow \frac{b^2}{c} + 1 \geq 2b
\]
\[
4\frac{c^2}{a} \geq 4 \cdot \text{(củng cố bằng A.G.M/CS)} \Rightarrow \geq 2c
\]

Kết hợp:

\[
\Rightarrow \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + 4\frac{c^2}{a} \geq a + 2b + 2\sqrt{4c^2} \geq a + 3b
\]

Vì vậy, ta thấy rằng biểu thức đã chứng minh được.

Vậy bất đẳng thức \( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{4c^2}{a} \geq a + 3b \) là đúng với tất cả \( a, b, c > 0 \).

Q.E.D.