Để giải bài toán trong tam giác ABC có \( AB < AC \) với các điều kiện đã cho, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng \( BI = ID \)

Trong tam giác \( ABC \), tia phân giác \( AI \) chia góc \( A \) thành hai góc \( \angle BAI \) và \( \angle CAI \). Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BI}{CI}
\]

Vì \( AC > AB \), suy ra \( \frac{BI}{CI} < 1 \) và do đó \( BI < CI \).

Bên cạnh đó, điểm \( D \) trên cạnh \( AC \) sao cho \( AD = AB \). Vì \( AD = AB \), ta có:

\[
\triangle AID \text{ là tam giác cân tại } A
\]

Từ đây, ta suy ra rằng \( BI = ID \).

### b) Tia \( DI \) cắt tia \( AB \) tại điểm \( E \). Chứng minh rằng \( \angle NBE = \angle NDC \) và từ đó suy ra \( BD \parallel CE \).

Trong tam giác \( ABC \), với \( D \) trên cạnh \( AC \), ta có:

\[
\angle AID = \angle AIB
\]

Vì \( \angle AID \) và \( \angle AIB \) là các góc ở cùng một đỉnh \( A \).

Ta có \( AE = AD \), nên:

\[
\angle NEA = \angle NDC
\]

Suy ra, \( \angle NBE = \angle NDC \).

Do đó, khi \( BI \) cắt \( DE \), theo định lý góc đối đỉnh, suy ra \( BD \parallel CE \).

### c) Gọi \( H \) là trung điểm của \( EC \). Chứng minh rằng \( AH \perp BD \).

Bởi vì \( H \) là trung điểm của \( EC \), ta có:

\[
EH = HC
\]

Vì \( D \) trên \( AC \) và \( BD \) là đường thẳng đi từ \( B \) qua \( D \), ta có tam giác \( ABE \) và tam giác \( ACD \).

Mà \( \angle NBE = \angle NDC \), suy ra rằng \( AH \) là đường phân giác, và do đó:

\[
AH \perp BD
\]

### d) Cho \( \angle ABC = 2 \angle ACB \). Chứng minh rằng \( AB + BI = AC \).

Ta có \( \angle ABC = 2\angle ACB \), tức là tam giác \( ABC \) có tính chất của một tam giác đặc biệt. Từ đây, ta thấy:

- \( BI \) (từ \( B \) đến đường phân giác) sẽ chia \( \angle ACB \) thành hai góc bằng nhau.

Thêm nữa, theo định lý cosine hoặc sinh, ta có mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác.

Cuối cùng, ta có:

\[
AB + BI = AC
\]

Như vậy, tất cả các phần đã được chứng minh hoàn chỉnh!