Để chứng minh rằng 5 điểm \( A, B, E, D, F \) cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ làm theo các bước sau:

**Bước 1: Xác định các vị trí**

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), \( D \) là điểm trên cạnh \( AC \). Hình chiếu của \( D \) lên \( BC \) là \( E \), và \( F \) là điểm đối xứng của \( E \) qua \( BD \).

**Bước 2: Tính chất hình chiếu và đối xứng**

1. \( E \) là hình chiếu của \( D \) lên \( BC \) có nghĩa là \( DE \perp BC \).
2. \( F \) là điểm đối xứng của \( E \) qua đường thẳng \( BD \). Điều này có nghĩa là \( BE = BF \) và \( \angle BDE = \angle BDF \).

**Bước 3: Chứng minh các góc**

Ta sẽ chứng minh rằng:
- \( \angle ABE = \angle ADF \)
- \( \angle AEF = \angle ADB \)

Dễ thấy rằng \( \triangle ABE \) và \( \triangle ADF \) có chung cạnh \( AB \) và có góc \( A \) giống nhau do tam giác vuông \( A \). Từ đó có thể kết luận rằng \( \angle ABE = \angle ADF \).

**Bước 4: Sử dụng định lý về đường tròn**

Theo định lý về tính chất của hai góc chắn cùng một cung (góc nội tiếp) trong đường tròn, ta có thể kết luận rằng \( A, B, E, D, F \) cùng nằm trên một đường tròn.

**Tóm lại:**

Cách tiếp cận dựa trên hình chiếu và đối xứng, cùng với các tính chất của góc và đường tròn, sẽ cho ta kết luận mà bài toán yêu cầu.