Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN. Gọi I là trung điểm của MN

### Bài 7

a) **Chứng minh \( AB = AM \cdot AN \):**

- Xét tam giác \( AOB \) và \( AOC \).
- Hai tam giác này có các cạnh:
- \( AO \) là cạnh chung.
- \( AB \) và \( AC \) là hai tiếp tuyến, do đó \( OA \perp AB \) và \( OA \perp AC \).
- Theo định lý tiếp tuyến, \( AB = AO^2 - OB^2 \) và \( AC = AO^2 - OC^2 \).

- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( AMN \), ta có:
- \( AM^2 + AN^2 = AO^2 \).

Do đó, từ các tam giác tương ứng ta có được \( AB = AM \cdot AN \).

b) **Chứng minh rằng 5 điểm \( A, B, I, C, O \) cùng nằm trên một đường tròn:**

- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \), do đó góc \( ABI \) và \( ACI \) đều có chung \( AI \).
- Theo định lý căm giác, ta có:
\[
\angle AOB = \angle ACB
\]
và
\[
\angle AOC = \angle AIB.
\]

- Kết hợp các mối quan hệ này, ta có 5 điểm \( A, B, I, C, O \) cùng nằm trên một đường tròn.

c) **Gọi \( K \) là giao điểm của \( BC \) và \( AL \). Chứng minh rằng:**
\[
\frac{IB}{IC} = \frac{KB}{KC}.
\]

- Theo định lý cevi, trong tam giác \( AIC \) với đường phân giác \( AL \) ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{IB}{IC}.
\]

- Mặt khác, theo định lý Cevi, ta cũng có:
\[
\frac{KB}{KC} = \frac{AB}{AC}.
\]

- Do đó từ hai mối quan hệ này ta suy ra:
\[
\frac{IB}{IC} = \frac{KB}{KC}.
\]

### Bài 8
(Dựa vào định lý Ptolemy liên quan đến tứ giác nội tiếp)

Gọi \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp đường tròn \( O \):
- Theo định lý Ptolemy, ta có:
\[
AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.
\]

Mỗi bước làm rõ các định lý hình học sẽ giúp chúng ta chứng minh ràng buộc giữa các đoạn thẳng trong tứ giác và các điểm và tiếp tuyến.