Để giải phương trình \( (2a - 1)(b^2 + 1) = -17 \), ta sẽ tiếp cận bằng cách phân tích các yếu tố của -17.

Trước tiên, ta biết rằng -17 có các cặp ước số nguyên như sau:
- \( 1 \) và \( -17 \)
- \( -1 \) và \( 17 \)
- \( 17 \) và \( -1 \)
- \( -17 \) và \( 1 \)

Ta có thể viết phương trình dưới dạng hai thành phần:
\[
2a - 1 = d,
\]
\[
b^2 + 1 = \frac{-17}{d},
\]
với \( d \) là một trong các ước số của -17.

Bây giờ, ta xem xét từng trường hợp cho \( d \):

1. **Trường hợp \( d = 1 \)**:
\[
2a - 1 = 1 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1
\]
\[
b^2 + 1 = -17 \Rightarrow b^2 = -18 \quad \text{(không có nghiệm)}
\]

2. **Trường hợp \( d = -1 \)**:
\[
2a - 1 = -1 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0
\]
\[
b^2 + 1 = 17 \Rightarrow b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 \text{ hoặc } b = -4
\]

3. **Trường hợp \( d = 17 \)**:
\[
2a - 1 = 17 \Rightarrow 2a = 18 \Rightarrow a = 9
\]
\[
b^2 + 1 = -1 \Rightarrow b^2 = -2 \quad \text{(không có nghiệm)}
\]

4. **Trường hợp \( d = -17 \)**:
\[
2a - 1 = -17 \Rightarrow 2a = -16 \Rightarrow a = -8
\]
\[
b^2 + 1 = 1 \Rightarrow b^2 = 0 \Rightarrow b = 0
\]

Từ các trường hợp trên, ta có 2 bộ nghiệm nguyên:

1. \( (a, b) = (0, 4) \) và \( (0, -4) \)
2. \( (a, b) = (-8, 0) \)

Vậy, số nguyên \( a \) và \( b \) thỏa mãn là:
- \( (a, b) = (0, 4) \)
- \( (a, b) = (0, -4) \)
- \( (a, b) = (-8, 0) \)