Để tìm các số nguyên \( a \) và \( b \) thỏa mãn phương trình:

\[
(2a - 1)(b^2 + 1) = -17,
\]

chúng ta cần phân tích các yếu tố của \( -17 \). Phương trình này có thể được giải quyết bằng cách tìm các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn:

\[
x \cdot y = -17,
\]

trong đó \( x = 2a - 1 \) và \( y = b^2 + 1 \).

Các cặp số nguyên mà nhân với nhau cho ra -17 là:
1. \( (1, -17) \)
2. \( (-1, 17) \)
3. \( (17, -1) \)
4. \( (-17, 1) \)

Để tìm \( a \) và \( b \) từ mỗi cặp này:

1. **Cặp (1, -17)**:
- \( 2a - 1 = 1 \) ⇒ \( 2a = 2 \) ⇒ \( a = 1 \)
- \( b^2 + 1 = -17 \) ⇒ \( b^2 = -18 \) (không có nghiệm thực)

2. **Cặp (-1, 17)**:
- \( 2a - 1 = -1 \) ⇒ \( 2a = 0 \) ⇒ \( a = 0 \)
- \( b^2 + 1 = 17 \) ⇒ \( b^2 = 16 \) ⇒ \( b = 4 \) hoặc \( b = -4 \)

3. **Cặp (17, -1)**:
- \( 2a - 1 = 17 \) ⇒ \( 2a = 18 \) ⇒ \( a = 9 \)
- \( b^2 + 1 = -1 \) ⇒ \( b^2 = -2 \) (không có nghiệm thực)

4. **Cặp (-17, 1)**:
- \( 2a - 1 = -17 \) ⇒ \( 2a = -16 \) ⇒ \( a = -8 \)
- \( b^2 + 1 = 1 \) ⇒ \( b^2 = 0 \) ⇒ \( b = 0 \)

Từ các cặp trên, ta có các nghiệm như sau:
- Từ cặp (-1, 17), ta có \( (a, b) = (0, 4) \) hoặc \( (0, -4) \).
- Từ cặp (-17, 1), ta có \( (a, b) = (-8, 0) \).

Vì vậy, các số nguyên \( a \) và \( b \) thỏa mãn phương trình đã cho là:
1. \( (a, b) = (0, 4) \)
2. \( (a, b) = (0, -4) \)
3. \( (a, b) = (-8, 0) \)