Chúng ta sẽ chứng minh các phần yêu cầu trong bài toán về tam giác cân ΔABC với các điểm M, D, E và K như đã mô tả.

### a) Chứng minh ΔABM = ΔACM

1. **Thông tin đã cho:**
- ΔABC có AB = AC.
- M là trung điểm của BC.

2. **Cách chứng minh:**
- Xét hai tam giác ΔABM và ΔACM.
- Ta có:
- AB = AC (giả thiết).
- BM = CM (vì M là trung điểm của BC).
- AM = AM (đương nhiên).
- Từ đó, ta suy ra:
\[
ΔABM \cong ΔACM \quad (\text{Cạnh - Cạnh - Cạnh (CCC)})
\]
- Từ sự đồng nhất này, ta có thể kết luận các cặp cạnh và góc tương ứng giữa hai tam giác này bằng nhau.

### b) Chứng minh MD = ME

1. **Thông tin đã cho:**
- D là điểm trên cạnh AB.
- E là điểm trên cạnh AC.
- AD = AE.

2. **Cách chứng minh:**
- Xét ΔAMD và ΔAME:
- Ta có:
- AM = AM (đương nhiên).
- AD = AE (giả thiết).
- MD = ME (cần chứng minh).
- Từ phần a), ta thấy ΔABM ≅ ΔACM, nên góc ABM = góc ACM.
- Vậy ΔAMD và ΔAME có sự tương ứng giữa các cạnh và góc, cụ thể:
- Góc AMD = góc AME.
- Từ đó, theo định lý chứng minh tam giác đồng dạng (cạnh tương ứng và góc này mà tương ứng), ta suy ra MD = ME.

### c) Chứng minh DK // BC

1. **Thông tin đã cho:**
- N là trung điểm của BD.
- K là điểm trên tia đối của NM sao cho NK = NM.

2. **Cách chứng minh:**
- Xét các tam giác ΔBNM và ΔKNM.
- Ta có:
- NM = NM (đương nhiên).
- BN = ND (vì N là trung điểm của BD).
- NK = NM (giả thiết).
- Do đó, sử dụng tiêu chuẩn:
- Nếu một bên của tam giác này dài bằng một bên của tam giác khác và chúng có cạnh chung còn lại, thì hai tam giác này đồng dạng.
- Từ ΔBNM và ΔKNM, ta có kết luận:
\[
ΔBNM \sim ΔKNM
\]
- Từ đó, suy ra DK // BC (các cạnh tương ứng trong tam giác tương ứng đồng dạng sẽ dẫn đến tính song song).

Từ ba phần chứng minh trên, chúng ta thấy rằng các tính chất của tam giác cân và đường trung bình giúp dễ dàng giải quyết bài toán này.