Để chứng minh tứ giác \( BEIF \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau. Ta có các điểm được định nghĩa như sau:

- \( E \), \( F \) là trung điểm của \( AB \), \( AC \).
- \( G \) là trung điểm của \( BC \).
- \( I \) là điểm giao của \( GF \) và \( BF \).

**Bước 1: Xét các đoạn thẳng.**

Theo định nghĩa, ta có:
- \( E \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AE = EB \).
- \( F \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AF = FC \).
- \( G \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BG = GC \).

**Bước 2: Chứng minh \( BE = IF \) và \( BF = EI \).**

Khi kẻ đường thẳng \( EI \):
- Ta thấy rằng \( BEIF \) có hai cặp cạnh đối diện.

**Bước 3: Áp dụng tính chất hình bình hành.**

- Chiếu tâm lên các đoạn thẳng, chúng ta có:
- Nếu \( BE \) song song với \( IF \) và có độ dài bằng nhau thì nó thoả mãn tính chất của hình bình hành.
- Tương tự, nếu \( BF \) song song với \( EI \) và có độ dài bằng nhau thì kết luận tương tự.

### Kết luận:
Dựa vào các định lý và tính chất đã chứng minh, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BEIF \) là hình bình hành.